Application lipschitzienne

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En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limité dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure à une constante appelée constante de Lipschitz.
Application lipschitzienne

En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limité dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure à une constante appelée constante de Lipschitz.

Définitions

Cas réel

Soient I un intervalle de \R (non vide et non réduit à un point), f: I\to\R une application et k un réel strictement positif. On dit que f est k-lipschitzienne si et seulement si :\forall (x, y) \in I^2, \ |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|

Cas des espaces métriques

Soient (E, d_E) et (F, d_F) des espaces métriques, f: E \to F une application et k un réel strictement positif. On dit que f est k-lipschitzienne si et seulement si :\forall (x, x') \in E^2, \ d_F \left(f(x), f(x')\right) \leq k d_E(x, x')

De plus

- f est dite lipschitzienne s'il existe k>0 tel que f soit k-lipschitzienne.
- Le plus petit k tel que f soit k-lipschitzienne est appelé constante de Lipschitz.
- f est dite contractante si et seulement si il existe 00 et on a donc, d'après le fait que f soit k-lipschitzienne: :\forall (x, x') \in I^2, ~|x-x'| \leq \eta \Longrightarrow |f(x)-f(x')| \leq k \frac\varepsilon
Sujets connexes
Analyse (mathématiques)   Application   Application (mathématiques)   Application contractante   Continuité   Continuité uniforme   Dérivation   Dérivée   Espace métrique   Limite   Nombre réel   Rudolf Lipschitz   Théorème de Rademacher   Théorème des accroissements finis  
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