Logarithme complexe

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En mathématiques, il est tentant de généraliser la fonction logarithme naturel, définie sur ]0 ; + \infty0 ; + \infty[ avec la fonction logarithme naturel. On doit être prudent, parce que certaines propriétés familières du logarithme réel ne sont plus vérifiées pour le logarithme complexe. Par exemple, L(ez) n'est pas toujours égal à z, et L(zw) n'est pas toujours égal à L(z) + L(w).
Logarithme complexe

En mathématiques, il est tentant de généraliser la fonction logarithme naturel, définie sur ]0 ; + \infty0 ; + \infty[ avec la fonction logarithme naturel. On doit être prudent, parce que certaines propriétés familières du logarithme réel ne sont plus vérifiées pour le logarithme complexe. Par exemple, L(ez) n'est pas toujours égal à z, et L(zw) n'est pas toujours égal à L(z) + L(w).

Définition à partir d'équations différentielles

Sauf indication contraire, dans cette partie, toutes les équations différentielles considérées sont linéaires. Il est bien connu que le logarithme réel est une primitive de la fonction inverse : c'est une solution de l'équation différentielle : :z\phi'(z)=1\, En fait, on peut définir un logarithme complexe comme une solution holomorphe de cette équation. Il est facile de voir que cette définition est équivalente à celle faisant intervenir la fonction exponentielle. On rattache ainsi la question du logarithme complexe à celle plus générale des équations différentielles holomorphes. C'est dans ce contexte qu'intervient de façon naturelle la question de monodromie. Le cas des fonctions puissance entre aussi dans ce cadre des fonctions définies comme solutions d'équations différentielles : pour \alpha\in\mathbb une fonction z\mapsto z^\alpha peut être définie comme solution de l'équation différentielle : :z\phi'(z)=\alpha\phi(z)\, Prenons l'exemple de la racine carrée (\alpha=1/2). Il y a le même problème de non-unicité que pour le logarithme : chaque nombre non nul a deux racines carrées complexes, opposées l'une de l'autre. En particulier, on peut passer de l'une à l'autre grâce à l'opération de multiplication par -1. Un choix canonique était possible pour la racine carrée des réels positifs : le choix de la racine carrée positive. Ce n'est plus possible pour les complexes. Le phénomène de monodromie n'est pas tout à fait le même que pour le logarithme quand on fait un tour autour de l'origine : cette fois-ci, cela revient à multiplier la racine carrée initialement choisie par -1. Il faut remarquer que la monodromie est en un certain sens plus simple pour la racine carrée : au bout d'un deuxième tour, on revient à le valeur de départ, ce qui n'arrivera jamais pour le logarithme. En langage plus savant : l'origine est un point singulier pour nos deux équations différentielles, et à un point singulier d'une équation différentielle est associé le groupe de monodromie de la façon suivante : le groupe fondamental de l'espace \mathbb privé des points singuliers de l'équation considérée (dans nos exemples, cet espace est \mathbb^
-, et le groupe fondamental est \Pi_1(\mathbb^
-)\simeq\mathbb) agit sur les espaces de solutions locales de l'équation par prolongement analytique le long des lacets. L'image de la représentation ainsi obtenue est par définition le groupe de monodromie de l'équation : c'est donc un groupe quotient du groupe fondamental. Dans nos exemples, on trouve que le groupe de monodromie est isomorphe à \mathbb pour le logarithme, à \mathbb/2\mathbb pour la racine carrée. Dans le cas d'une équation à plusieurs singularités, le groupe de monodromie ainsi défini est le groupe de monodromie global. On peut aussi définir un groupe de monodromie local associé à chaque singularité. Le groupe de monodromie global sera bien entendu un quotient du produit libre des groupes de monodromie locaux.

Surfaces de Riemann

Plutôt que de se contenter de la détermination principale du logarithme, on privilégie un autre point de vue, plus aisément généralisable : on construit un espace géométrique qui se projette dans le plan complexe, dans lequel le logarithme est bien défini, et tel que deux points de cet espace dont les logarithmes diffèrent de 2ik\pi\, , pour un certain entier k\, , se projettent sur le même point du plan complexe. On reconnaît ici la définition d'un revêtement de \mathbb : il s'agit en fait de son revêtement universel. On obtient ainsi une surface de Riemann. Pour le cas de la fonction racine carrée, on peut se contenter de revêtir par une surface plus proche du plan complexe épointé \mathbb^
- initial (plus proche en terme de classification des revêtements) : la valeur de la fonction étant déterminée à multiplication par -1 près, on pourra se contenter d'un revêtement à deux feuillets (contre une infinité pour le logarithme). En langage plus savant, et de façon plus générale, on peut voir ces surfaces de Riemann ainsi : on considère le revêtement universel de l'espace \mathbb privé des singularités de l'équation considérée. Le groupe de Galois de ce revêtement est le groupe fondamental de l'espace considéré. Pour obtenir la surface de Riemann associée, il faut considérer le sous-revêtement galoisien dont le groupe de Galois est le groupe de monodromie de l'équation considérée. Cette opération se fait par la correspondance de Galois sur les revêtements. Elle est naturelle dans le sens où elle revient à rendre la monodromie, qui était une obstruction à l'univocité, triviale — et de la manière la moins coûteuse possible, en termes de revêtement.

Voir aussi

- Logarithme ; Catégorie:Analyse complexe en:Complex logarithm it:Logaritmo complesso
Sujets connexes
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