Transvection

Infos
Image:france_transvection.gif Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.
Transvection

Image:france_transvection.gif Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

Transvection vectorielle

Une transvection d'un espace vectoriel E\, est soit l'identité, soit un endomorphisme f\, de E\, tel que l'ensemble des vecteurs invariants H=\mathrm(f-\mathrm)\, est un hyperplan de E\, (base de la transvection) et D=\mathrm(f-\mathrm)\, (direction de la transvection) est inclus dans H\, (c'est-à-dire que pour tout x\, de E\, , f(x)-x\, appartient à H\, ). Condition équivalente 1 : f\, est linéaire et (f-\mathrm)^2=0\, . Condition équivalente 2 : il existe une forme linéaire h\, sur E\, et un vecteur invariant u\, tels que pour tout x\, de E\, : f(x)=x+h(x)u\, Les transvections sont bijectives (f^(x)=x-h(x)u\, ) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire de E\, : SL(E)\, . L'ensemble des transvections de base H\, en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif H\, (à u\, de H\, , faire correspondre la transvection x\mapsto x+h(x)u\, ).

Matrice de transvection

Dans une base de E\, contenant une base de H\, dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de D\, , la transvection a pour matrice une matrice du type \begin 1 & & & & \\ & 1 & &\lambda & \\ & & . & & \\ & & & 1 & \\ & & & & 1 \end=I_n+\lambda E_ aveci\ne j. Ces matrices sont appelées matrices de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL_n(K)\, . La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est \begin 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & . & & \\ & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 \end

Transvection affine

Une transvection d'un espace affine E\, est soit l'identité, soit une application affine de E\, dans E\, dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan de H\, de E\, (base de la transvection) et telle que pour tout point M\, le vecteur \overrightarrow reste parallèle à H\, . Les vecteurs \overrightarrow forment alors une droite vectorielle \overrightarrow (direction de la transvection). Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle, mais les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base. Étant donné deux points A\, et A'\, tels que la droite (AA')\, est parallèle à un hyperplan H\, , mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base H\, envoyant A\, sur A'\, ; on obtient facilement l'image M'\, d'un point M\, par la construction : Image:transvection.gif

Transvection projective

Si l'on plonge l'espace affine E\, dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini H'\, , on sait que l'on peut munir le complémentaire E'\, de l'hyperplan H\, d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de H\, dans E\, deviennent parallèles dans E'\, et celles qui sont parallèles dans E\, deviennent sécantes en un point de H'\, ). A toute transvection d'hyperplan H\, de E\, est alors associée une application affine de E'\, qui n'est autre qu'une translation ! Si maintenant on envoie un autre hyperplan que H\, et H'\, à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale. En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

Transvection euclidienne

| |Image:transvection_euclid.gif |Soit f\, une transvection d'un espace euclidien, \vec n un vecteur normal et normé de sa base et D\, sa direction de vecteur directeur normé \vec u. Avec les notations ci-contre, on a \overrightarrow =\lambda \overline \vec u . Le nombre \lambda\, est alors le coefficient de la transvection, et l'angle \theta\, , défini par \tan \theta =\lambda\, , son angle. |

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle

left Plongeons l'espace euclidien E_n\, de dimension n comme hyperplan d'un espace E_\, de dimension n+1 et faisons tourner E_n\, autour de son hyperplan H\, , de façon à en obtenir une copie \tilde E_n\, . Tout point M\, de E_n\, a une copie \tilde M dans \tilde E_n\, , donc aussi l'image M'\, de M\, par une transvection de base H\, . On montre que la droite (M\tilde M') garde une direction fixe D\, , ce qui montre que \tilde M' s'obtient par projection de M\, dans E_\, (projection de base \tilde E_n\, et de direction D\, ). Voir une réalisation concrète de ce procédé. ==
Sujets connexes
Application affine   Application linéaire   Dilatation (géométrie)   Espace euclidien   Projection (géométrie)   Réduction de Jordan   Transformation  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^