Clone (mathématiques)

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= Clone =
Clone (mathématiques)

= Clone =

Définition

Soit A un ensemble, et F(A) l'ensemble de toutes les constantes de A et de toutes les fonctions finitaires sur A. Un clone sur A est un sous-ensemble X de F(A) tel que
- X est clos par composition ;
- X contient toutes les projections ;
- si une constante c est dans X, toutes les fonctions finitaires à valeur constante c sont dans X
- si une fonction finitaire à valeur constante c est dans X, alors la valeur constante c est dans X. Tout sous-ensemble X de F (A) est contenu dans un plus petit clone sur A, que l'on appelle le clone engendré par X. Le clone engendré par les opérations fondamentales d'une algèbre A est appelé le clone de A.

Exemple

Considérons l'ensemble à 2 éléments 0, 1. Le clone engendré par les constantes 0, 1 et les opérations binaires min et max est celui des fonctions croissantes, c’est-à-dire telles que f(x_1, ... x_, 0, x_, ...x_n) \leq f(x_1, ... x_, 1, x_, ...x_n) Emil Post a publié en 1921 une étude exhaustive et passionnante des clones sur les algèbres à deux éléments. Catégorie: Logique
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