Système décimal sans zéro

Infos
Le système décimal sans zéro est un système de numération expérimental visant à montrer que l'humanité aurait pu développer un système positionnel ne faisant pas intervenir le symbole zéro.
Système décimal sans zéro

Le système décimal sans zéro est un système de numération expérimental visant à montrer que l'humanité aurait pu développer un système positionnel ne faisant pas intervenir le symbole zéro.

Présentation

Avec les nombres zéro (0) et infini (∞) comme cas particuliers. Les nombres entre guillemets font référence au système standard. Et ainsi de suite, avec : 9 99X = "10 000" X XXX = "11 110" 99 99X = "100 000" XX XXX = "111 110" 999 99X = "1 000 000" XXX XXX = "1 111 110" 9 999 99X = "10 000 000" X XXX XXX = "11 111 110" Nous avons donc les puissances de dix : X
-X = 9X X
-X
-X = 99X X
-X
-X
-X = 999X XX = 9 999 999 99X

Énonciation

Voici un exemple d'énonciation des nombres illustrant la régularité du système au travers de ce qu'aurait pu devenir la langue française si elle avait intégré ce système :
- Les unités ne changent pas : un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix.
- Les dizaines peuvent être régularisées : de unante-un à unante-dix, de vingt-un à vingt-dix, de trente-un à trente-dix, de quarante-un à quarante-dix, de cinquante-un à cinquante-dix, de soixante-un à soixante-dix, de septante-un à septante-dix, de huitante-un à huitante-dix, de nonante-un à nonante-dix, et de décante-un à décante-dix.
- Les centaines commencent à 111 : de cent-unante-un à dix-cent-décante-dix (XXX).
- Les milliers commencent à 1 111, jusqu'à XXX XXX : de mille-cent-unante-un à dix-cent-décante-dix-mille-dix-cent-décante-dix.
- Et ainsi de suite avec les millions et milliards.

Particularités

Orales

- Les puissances de dix sont plus longues à énoncer que dans le système actuel, sans gain inverse compensatoire dans la numération, ce qui ajoute à la difficulté du système.
- Certains termes utilisés dans la numération ne définissent pas, isolément, des nombres : « unante », « vingt », « décante », « cent », « mille », etc. ne constituent des nombres qu'avec d'autres termes leur faisant suite. En leur absence, cette restriction leur permet cependant d'exprimer des intervalles de nombres ; si « unante-dix » est un nombre, « vingt » peut alors être employé pour désigner les nombres de « vingt-un » à « vingt-dix ». Cela, d'une part, est formellement satisfaisant, et conforme à l'usage, car dans « les années mille-neuf-cent », à « mille-neuf-cent » ne correspond pas un nombre, mais bien un intervalle de nombres ; et, d'autre part, permet de remplacer des périphrases, « mille-neuf-cent » étant plus concis que « la dernière centaine du millier » ou que « mille-neuf-cent quelque chose ».
- Une même valeur peut être représentée par différents termes au cours de la numération (dix = unante, cent = décante, mille = dix cents, etc.). Cependant, si chacun de ces doublons exprime bien une même valeur au sein d'un nombre, leur emploi diffère, comme indiqué en présentation et au point précédent.

Mathématiques

Ce système ne représente pas les nombres en développement décimal :
- Deux chiffres distincts peuvent, à une position différente, représenter la même valeur : dans l'écriture 1X, 1 et X comptabilisent tous les deux dix unités.
- L'augmentation d'un chiffre n'indique pas le dépassement d'une puissance de dix : X^2 < X1 < 111 < X^3.
- L'écriture d'un nombre ne correspond pas à sa décomposition en puissances de dix : 4X1 = 5.X^2 + 1. De ce fait, la virgule pose problème :
- Avec la virgule, les nombres ne bénéficient pas d'une représentation unique : 3 = 2, X = 2, 9X.
- Le classement ordonné des nombres dans leur écriture n'utilisant pas la même quantité de chiffres après la virgule est peu intuitif : 3, 9 < 4 < 3, 9X1.
- La virgule ne permet pas de représenter tous les nombres rationnels : \frac ne peut pas s'écrire avec une virgule sans l'intervention d'un zéro positionnel. La virgule est donc inutilisable. Les nombres fractionnaires doivent être représentés par une autre notation, moins compacte, faisant intervenir une barre de fraction ou la multiplication par une puissance de dix négative.

Conclusion

Ce système, grâce à son principe positionnel, est nettement plus performant qu'un système additif, telle la numération romaine. Cependant, son intérêt est surtout de donner un éclairage quant à l'importance du chiffre zéro et à la nature de cette importance, car, si l'invention de ce chiffre n'a rien d'une étape obligatoire dans le développement d'un système numérique positionnel, les propriétés qui découlent de l'utilisation de ce dernier rendent le système simple et élégant. Aussi, la représentation des nombres en développement décimal est pratique et parfaitement légitime. décimal sans zéro Catégorie:Zéro en:Bijective numeration
Sujets connexes
Développement décimal   Nombre rationnel   Notation positionnelle   Numération romaine   Système de numération   Système décimal  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^