Théorie des perturbations (physique)

Infos
En physique nombre de quantités ne sont pas obtenues de manière exacte sous forme fermée mais de façon approchée sous forme de série dont le terme général est contrôlé par un paramètre physique (constante de couplage en physique des particules par exemple). On parle alors de développement perturbatif. Dans le cas de la physique des particules les termes de la série perturbative sont données par des sommes de diagramme de Feynman. En relativité générale, si on
Théorie des perturbations (physique)

En physique nombre de quantités ne sont pas obtenues de manière exacte sous forme fermée mais de façon approchée sous forme de série dont le terme général est contrôlé par un paramètre physique (constante de couplage en physique des particules par exemple). On parle alors de développement perturbatif. Dans le cas de la physique des particules les termes de la série perturbative sont données par des sommes de diagramme de Feynman. En relativité générale, si on considère une métrique de fond satisfaisant aux équations d'Einstein alors on peut chercher les solutions aux mêmes équations pour un fond incluant de légères perturbations de la métrique et du tenseur énergie-impulsion. Les ondes gravitationnelles sont les perturbations tensorielles de la métrique dans ce contexte.

En mécanique quantique

Régime stationaire

On considère que l'opérateur hamiltonien du système se décompose en deux parties :
- une partie diagonalisable,
- une partie correspondant à la perturbation. Le hamiltonien s'écrit alors : :\hat H = \hat H_0 + \lambda \hat V où \lambda \ll 1 Le paramètre \lambda doit être petit, pour ne pas trop perturber le spectre on se limite ici aux valeurs propres non dégénérées. de \hat H. Les valeurs propres associées à \hat H_0 sont données par l'équation de Schrödinger stationnaire : : \hat H_0 |n^0\rangle = E^0_n |n^0\rangle et valent : :E^0_1, E^0_2, E^0_3, ..., E^0_n Pour résoudre le système, on décompose \lambda est considéré très petit. les valeurs et états propres perturbés en série entière : :|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+... :E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+... Lorsqu'on introduit ces expressions dans l'équation de Schrödinger, on obtient alors : :(\hat H_0+\lambda \hat V)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) = (E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle + ...) On peux maintenant résoudre le système en identifiant les puissances de même degré de \lambda des deux côtés de l'équation :
- ordre 0correspondant au système non perturbé, l'ordre 0 n'apporte aucune correction. : : \hat H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle
- ordre 1 : :\hat H_0 |n^1\rangle + \hat V |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle
- ordre 2 : :\hat H_0 |n^2\rangle + \hat V |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle
- ordre q : :\hat H_0 |n^q\rangle + \hat V |n^\rangle = E^0_n |n^q\rangle + E^1_n |n^\rangle +E^2_n |n^\rangle +... + E^q_n |n^0\rangle On peut résoudre cette équations de manière itérative, en commençant par calculer E^0_n et |n^0\rangle, puis E^1_n et |n^1\rangle, etc... On doit cependant rajouter une condition supplémentaire, qui consister à considérer la normalisation et la phase du ket |n \rangle. On doit alors avoir : :\langle n^0|n^k\rangle = \delta_ Les corrections d'ordre q dépendent des corrections d'ordres inférieurs à q. Elles sont obtenus par projection sur les bases de vecteurs. Cette projection fixe chaque composante de |n\rangle.
- ordre 1 : Pour l'ordre 1, on trouve que : :E^1_n = \langle n^0| \hat V|n^0\rangle :|n^1\rangle = \sum_m\neq n \frac\langle m^0|\hat V|n^0\rangle|m^0\rangle
- ordre 2 : :E^2_n = \sum_m\neq n \frac|\langle m^0|\hat V|n^0\rangle|^2 Les |m\rangle sont d'autres états propres de l'opérateur non perturbé H_0 avec les valeurs propres correspondantes E_m^.

Références

Voir aussi

===
Sujets connexes
Constante de couplage   Diagramme de Feynman   Itération   Métrique   Notation bra-ket   Onde gravitationnelle   Opérateur hamiltonien   Physique   Physique des particules   Relativité générale   Spectre   Série (mathématiques)   Série entière   Tenseur énergie-impulsion   Théorie des perturbations   Valeur propre  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^