Volume

Infos
En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps. Le volume se mesure en mètre cube dans le système international. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides. Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur
Volume

En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps. Le volume se mesure en mètre cube dans le système international. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides. Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique associée est la pression. En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace est sa mesure. Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques. En géométrie euclidienne, le volume du parallélépipède engendré par 3 vecteurs non coplanaires (\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3) se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs : V = |\det( \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)|. Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculé grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Unités de volume

L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglosaxons (voir Conversion des unités)). Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'ancien régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime). Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécule) contenue dans un volume donné quelle que soit la pression et la température, deux définitions de correction existent :
- le mètre cube dit normal exprimé en m3(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1013, 25 hPa (pression d'une atmosphére normale ou 1 atm) et une température de 0°C.
- le mètre cube dit standard exprimé en m3(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1013, 25 hPa (pression d'une atmosphére normale ou 1 atm) et une température de 15°C. Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz. Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule. En mathématique, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X (cube unité) correspond à 8X cm³.

Quelques formules

Dans la suite on notera
-V le volume
-B et b Grande Base et petite base
-H : hauteur (ou distance séparant les deux faces)
- D ou d le diamètre
- R ou r le rayon
-a l'arête
-L ou l : la longueur et la largeur d'un rectangle

Les solides de Platon

Animation d'un Tétraèdre Animation d'un cube Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers. Si l'arête du polyèdre est a\, , on a
- Pour le tétraèdre : V = \frac\sqrta^3
- Pour le cube : V = a^3\,
- Pour l'octaèdre : V = \frac 13 \sqrt 2 a^3
- Pour le dodécaèdre : V = \frac 14(15 + 7\sqrt 5)a^3
- Pour l'icosaèdre : V = \frac 56\varphi^2a^3 où \varphi est le nombre d'or

Les prismes et cylindres

La formule générale est toujours : Aire de la base × Hauteur
- Le prisme droit : V =B \times H
- Le parallélépipède rectangle ou pavé : V = L \times l \times H
- Le cylindre de révolution : V = \pi R^2H

Les pyramides et cônes

La formule générale est toujours : V = \frac 13 B \times H
-Le cône de révolution : V = \frac\piR^2H
- Le cône (ou la pyramide) tronqué(e) par un plan parallèle à la base : V=H\over3 (B+b+\sqrt)

La boule

- La sphère : V = 4 \over 3 \pi R^3 ou V = \pi D^3 \over 6
- La calotte sphérique : V = \frac\piH^2(3R-H) où R est le rayon de la boule et H la hauteur de la calotte.
- La sphère percée d'un cylindre (rond de serviette) : V = \frac\pi H^3
- Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : V = \frac 23 \pi R^2H où H est la hauteur de la calotte et R le rayon de la boule.

Solides de révolution

Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface S plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité G de l'élément de surface S. : V = 2\pi R\cdot S où R est la distance séparant le point G de l'axe de rotation. Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :
- le tore : V = 2\pi^2 Rr^2 où r est le rayon du cercle de centre G tournant autour de l'axe (\Delta) et où R est la distance de G à (\Delta).
- le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide, un hyperboloïde à une nappe, un paraboloïde elliptique, un ellipsoïde de révolution. Si B_1 et B_2 sont les surfaces des bases et B_3 la surface de la section à mi-hauteur alors : V = \frac h6 (B_1 + B_2 + 4B_3)

Autres

- Le conoïde circulaire droit (exemple l'incisive) : V = \frac 12 \pi R^2H où R est le rayon du cercle de base et H la hauteur du conoïde.
- Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler : V = \frac h6(B_1+B_2+4B_3) où B_1 et B_2 sont les surfaces des deux bases rectangulaires et B_3 la surface de la section à mi-hauteur.

Volume et calcul intégral

Si \mathcal D est une partie bornée de \R^2, le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de \mathcal D, délimité par le plan z=0 et la surface d'équation z=f(x, y) – avec f positive et continue sur \mathcal D – est : :V = \iint_\mathcal D f(x, y)\, \mathrmx\, \mathrmy Dans le cas où le domaine \mathcal D est défini par des conditions simples x_1
Sujets connexes
Atm   Boule (solide)   Calcul infinitésimal   Conoïde   Conversion des unités   Coordonnées cylindriques   Coordonnées sphériques   Cube   Cylindre   Cône (géométrie)   Dodécaèdre   Débit   Ellipsoïde   Espace (notion)   Géométrie euclidienne   Hexaèdre   Hyperboloïde   Icosaèdre   Intégrale de surface   Mathématiques   Mesure (mathématiques)   Mètre cube   Méthode d'exhaustion   Nombre d'or   Octaèdre   Paraboloïde   Parallélépipède   Physique   Plan (mathématiques)   Pouvoir calorifique   Pression   Prisme (solide)   Produit mixte   Pyramide   Quantité estimée   Solide géométrique   Sphère   Superficie   Thermodynamique   Théorème de Guldin   Tore   Tétraèdre   Union européenne   Vecteur   Vecteur unitaire  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^