Opérateur (mathématiques)

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En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.
Opérateur (mathématiques)

En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.

Définition d'un opérateur

Définition

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F : | align="center" border="0" |O \ : \quad E \ \to \ F |

Opérateur linéaire

Un opérateur O : E \to F est linéaire si et seulement si il transforme toute combinaison linéaire de E en une combinaison linéaire de F, i.e. : | align="center" border="0" |\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb^2, \ \forall (x_1, x_2) \in E, \quad O( \lambda x_1 + \mu x_2) \ = \ \lambda O(x_1) + \mu O(x_2) |

Remarque

Lorsque F = \mathbb, un opérateur n'est rien d'autre qu'une forme linéaire sur E.

Domaine (de définition)

On appelle domaine (de définition) D_O de l'opérateur O le sous-ensemble D_O \subset E de E pour lequel cet opérateur est bien défini.

Continuité

- Soit x_0 \in D_O. L'opérateur O est dit continu en x_0 si et seulement si pour tout voisinage V de y_0 = O(x_0), il existe un voisinage U \subset D_O de x_0 tel que : | align="center" border="0" |\forall x \, \in \, U \cap D_O \ , \quad O(x) \, \in \, V |
- L'opérateur O est dit continu si et seulement si il est continu pour tous les points x_0 \in D_O de son domaine. ==
Sujets connexes
Espace de Banach   Espace de Hilbert   Espace vectoriel topologique   Forme linéaire   Mathématiques   Mécanique quantique   Opérateur différentiel   Physique théorique   Théorie ergodique   Théorie quantique des champs axiomatique  
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