Racine (mathématiques)

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En mathématiques, une racine d'une fonction ƒ définie sur D est un point x de D où ƒ s'annule : : ƒ(x)=0. Par exemple, la fonction réelle de la variable réelle : f : x \mapsto \cos(x) admet pour racines tous les réels de la forme : \frac\pi 2 + k\pi \quad(k \in \mathbf Z).
Racine (mathématiques)

En mathématiques, une racine d'une fonction ƒ définie sur D est un point x de D où ƒ s'annule : : ƒ(x)=0. Par exemple, la fonction réelle de la variable réelle : f : x \mapsto \cos(x) admet pour racines tous les réels de la forme : \frac\pi 2 + k\pi \quad(k \in \mathbf Z).

Racine d'un nombre

Racine d'un réel

La racine carrée d'un réel r positif (r ≥ 0) est l'unique racine positive du polynôme réel : X^2-r. Elle est notée \sqrt ou r^\frac 1 2. Exemples
- La racine carrée de deux est \sqrt 2 \approx 1, 414\, 213\, 56\ldots
- La racine carrée de trois est \sqrt 3 \approx 1, 732\, 050\, 81\ldots La racine cubique d'un réel r quelconque est l'unique racine du polynôme réel : X^3-r. Elle est notée \sqrt ou r^\frac 1 3. La racine énième (ou racine n-ième) d'un réel r positif (r > 0, n > 0) est l'unique racine positive du polynôme réel : X^n-r. Elle est notée \sqrt ou r^\frac 1 n. Elle peut se calculer avec les fonctions exponentielle et logarithme : : r^ = \exp \left ( \frac \cdot \ln r\right ). Lorsque n est impair, la définition peut s'étendre à tout nombre réel r mais l'écriture à l'aide de l'exponentielle est alors impossible. Enfin la racine énième de 0 est toujours 0, pour tout entier n > 0.

Racines d'un complexe

Les racines n-ièmes d'un complexe c non nul sont les racines du polynôme Xn − c. Il en existe exactement n.

Racines de l'unité

L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, noté \mathcal U_n, est formé des n racines du polynôme complexe : X n − 1. Il s'agit d'un sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif des complexes de module 1. Il est formé des éléments \ 1, e^i\frac 2\pi, e^i\frac 4\pi, \ldots, e^i\frac (2n-2)\pi \ On appelle racine n-ième primitive de l'unité tout générateur du groupe cyclique \mathcal U_n. Ces racines primitives sont les éléments e^i\frac2k\pi où k est premier avec n. Leur nombre est égal à \varphi(n)\, où \varphi\, désigne l'indicatrice d'Euler.

Considérations historiques

Une part importante des mathématiques s'est développée autour de la recherche de racines de fonctions, et plus particulièrement des polynômes. L'étude des racines de polynômes de degré 3 a mené à la découverte des nombres complexes. De nombreux polynômes réels n'admettent pas de racine réelle, toutefois, le théorème de d'Alembert affirme que tout polynôme de degré n (supérieur ou égal à 1) admet n racines complexes, comptées avec leurs ordres de multiplicité. Un des plus importants problèmes irrésolus à ce jour en mathématiques concerne la localisation des racines de la fonction Zeta de Riemann.

Racine en typographie

rightEn typographie, une racine est composée de trois parties : le radical, l'indice et le radicande.
-Le radical est le symbole de la racine,
-l'indice est le degré de cette racine,
-enfin, le radicande est ce qu'il y a sous la racine.

Voir aussi

- Calcul de la racine énième d'un nombre
- Racines de fonctions polynômes.
- Racine cubique
- Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction Catégorie:Analyse réelle Catégorie:Analyse complexe Catégorie:Zéro de:Wurzel (Mathematik) en:Root (mathematics) es:Raíz (matemáticas) he:שורש (מתמטיקה) io:Radiko (matematiko) it:Radice (matematica) ja:冪根 nl:Wortel (wiskunde) pl:Pierwiastek arytmetyczny pt:Raiz (matemática) vi:Nghiệm số zh:根 (数学)
Sujets connexes
Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction   Calcul de la racine énième d'un nombre   Exponentielle   Fonction polynôme   Groupe (mathématiques)   Groupe cyclique   Indicatrice d'Euler   Indice   Logarithme   Mathématiques   Nombre complexe   Nombre premier   Polynôme   Racine carrée   Racine carrée de deux   Racine cubique   Racine primitive modulo n   Radical   Typographie  
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