Normale à une surface

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Un plan et un vecteur normal. En géométrie, la droite normale à une surface en un point est la droite orthogonale au plan tangent en ce point. Les vecteurs directeurs de cette droite sont appelés vecteurs normaux à la surface. Une convention fréquente pour les surfaces fermées est de particulariser un vecteur normal unitaire, vecteur de norme 1 et orienté vers l'extérieur. Plus généralement, il est possible de considérer les vecteurs normaux à une
Normale à une surface

Un plan et un vecteur normal. En géométrie, la droite normale à une surface en un point est la droite orthogonale au plan tangent en ce point. Les vecteurs directeurs de cette droite sont appelés vecteurs normaux à la surface. Une convention fréquente pour les surfaces fermées est de particulariser un vecteur normal unitaire, vecteur de norme 1 et orienté vers l'extérieur. Plus généralement, il est possible de considérer les vecteurs normaux à une hypersurface dans un espace euclidien, voire dans une variété riemannienne.

Exemple : le plan en dimension 3

Dans un espace euclidien de dimension trois, on peut l'obtenir simplement par le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan. Soit un plan défini par le point A(a_1;a_2;a_3)\, et les vecteurs \vec u = \beginu_1\\ u_2\\ u_3\end et \vec v = \beginv_1\\ v_2\\ v_3\end. Son système d'équations paramétriques est : :\begin x = a_1 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y = a_2 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\ z = a_3 + \lambda u_3 + \mu v_3\end Soit \vec w = \vec u \times \vec v le vecteur résultat du produit vectoriel. Le vecteur normal au plan est : :\vec n = \frac\vec w\|\vec w\| ou \vec n = -\frac\vec w\|\vec w\| Si le plan est défini par son équation cartésienne : :Ax + By + Cz + D = 0 Son vecteur normal est :\vec n = \beginA\\B\\C\end et son vecteur normal unitaire est :\vec n = \frac\sqrt \cdot \beginA\\B\\C\end.

Vecteur normal en un point régulier

Soit une surface définie par un paramétrage :M(u, v)=\bigl(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\bigr) avec des fonctions x, y, z de classe C1. Le point de paramètre (u, v) est dit régulier lorsque les vecteurs dérivés partiels en ce point sont indépendants. On peut alors former leur produit vectoriel :N(u, v)=\frac\partial M\partial u(u, v) \wedge \frac\partial M\partial v(u, v) qui constitue un vecteur normal à la surface (non nécessairement unitaire). Si la surface est donnée par une équation cartésienne F(x, y, z)=0, avec une fonction F de classe C1, un point de la surface est dit régulier si le gradient de F est non nul en ce point. C'est alors le vecteur gradient lui-même qui constitue un vecteur normal.

Champ de normales

Un champ de normales (normales en plusieurs points) à une forme permet de retrouver sa surface tridimensionnelle, en passant par une étape d'intégration de ce champ.

Voir aussi

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Sujets connexes
Champ vectoriel   Classe de régularité   Espace euclidien   Gradient   Géométrie   Hypersurface   Norme (mathématiques)   Orientation (mathématiques)   Paramétrage   Plan (mathématiques)   Plan tangent   Point régulier   Produit vectoriel   Surface   Trois dimensions   Variété riemannienne   Vecteur   Vecteur unitaire  
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