Relation d'ordre

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Une relation d’ordre dans un ensemble E est une relation binaire dans cet ensemble qui permet de comparer ses éléments entre eux de manière cohérente. Un ensemble muni d’une relation d’ordre est un ensemble ordonné ou tout simplement un ordre.
Relation d'ordre

Une relation d’ordre dans un ensemble E est une relation binaire dans cet ensemble qui permet de comparer ses éléments entre eux de manière cohérente. Un ensemble muni d’une relation d’ordre est un ensemble ordonné ou tout simplement un ordre.

Définitions et exemples

Relation d'ordre

Une relation d'ordre sur un ensemble E est une relation binaire sur E réflexive, transitive et antisymétrique
- réflexive, si elle met tout élément en relation avec lui-même, c’est-à-dire si : :: \forall x \in E , \quad \ x \mathcal x \,
- antisymétrique, si les éléments distincts ne sont jamais en relation mutuelle, c’est-à-dire si : :: \forall (x, y) \in E^2 , \quad \ x \mathcal y \;\wedge\; y \mathcal x \Longrightarrow x = y \,
- transitive, si deux éléments sont mis en relation dès qu'on peut transiter par un troisième, c'est-à-dire :: \forall (x, y, z) \in E^3 , \quad \ x \mathcal y \;\wedge\; y \mathcal z \Longrightarrow x \mathcal z \, On peut tout de suite remarquer que, de par la forme même de ces axiomes, ils sont vérifiés par la relation inverse ou réciproque \mathcal^, qui est définie par :x \mathcal^ y \iff y \mathcal x À toute relation d'ordre est donc associé un ordre réciproque (plus petit ou égal/plus grand ou égal, inférieur ou égal / supérieur ou égal etc.).

Exemples et contre-exemples

- La relation « est inférieur ou égal à » est une relation d'ordre sur l'ensemble des entiers (naturels ou relatifs), sur l'ensemble des rationnels ou l'ensemble des réels. Elle peut être définie explicitement par :: \forall (x, y) \in E^2, \quad x \le y \iff y - x \in E_+ : où :: E_+=\x\in E | x\geq 0\
- la relation « est strictement inférieur à » n'est pas un relation d'ordre car elle n'est pas réflexive.
- La relation « est multiple de » est une relation d'ordre sur l'ensemble des entiers naturels.
- La relation « divise » est une relation d'ordre sur les entiers naturels.
- La relation « est multiple de » n'est pas un relation d'ordre sur les entiers relatifs car elle n'est pas antisymétrique : 6 est multiple de -6 et -6 est multiple de 6 mais 6 n'est pas égal à -6.
- La relation « est un sous-ensemble de » ou «est contenu dans »est une relation d'ordre sur l'ensemble des parties d'un ensemble.
- La relation « est placé avant » définie sur l'ensemble des point du cercle trigonométrique par : M est avant N si et seulement si la mesure principale de l'angle (\overrightarrow; \overrightarrow) est positive ou nulle n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas transitive.
- La relation « est le père de » sur un ensemble de personnes n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas réflexive.
- La relation définie sur l'ensemble des complexes par : \forall (x, y) \in \mathbb C^2 , \quad x \le y \iff y - x \in \R_+ est une relation d'ordre.
- La relation \mathcal R définie sur l'ensemble des complexes par : \forall (x, y) \in \mathbb C^2 , \quad x \mathcal R y \iff \mathrm(x) < \mathrm(y) \;\vee\; (\mathrm(x)=\mathrm(y) \;\wedge\; \mathrm(x)\le \mathrm(y)) est une relation d'ordre. Elle n'est cependant pas compatible avec la structure de corps de \mathbb C.

Applications croissantes

Si (E, \mathcal) et (F, \mathcal) sont deux ensembles ordonnés, une application f:E \to F est dites croissante si elle est compatible avec les relations, i.e. si : :: \forall (x, y) \in E^2 , \quad x\mathcaly \Longrightarrow f(x)\mathcalf(y).

Relation d'ordre strict

À une relation d'ordre on associe naturellement la relation obtenue en restreignant celles-ci aux couples d'éléments distincts. On parle alors d’ordre strict. Si la relation d'ordre est notée \le, on définit donc la relation d'ordre strict associée, notée < par : :x < y \iff x \le y \;\wedge\; x \ne y. On peut alors préciser relation d'ordre large quand on veut distinguer la notion de relation d'ordre de celle dordre strict. Il est tout à fait possible d'axiomatiser directement la notion d'ordre strict. Cela peut même s'avérer plus naturel dans certains cas. Une relation d'ordre strict est une relation binaire irréflexive, et transitive. C’est-à-dire qu'une relation R définie sur un ensemble E est un ordre strict quand elle vérifie les deux propriétés suivantes :
- (Irreflexivité) aucun élement de E n'est en relation avec lui-même par R : ::\forall x \in E , \quad x \not\! R x ;
-
(transitivité)' deux éléments sont mis en relation dès qu'on peut transiter par un troisième, c'est-à-dire : :: \forall (x, y, z) \in E^3 , \quad \ x \mathcal y \;\wedge\; y \mathcal z \Longrightarrow x \mathcal z \, On déduit immédiatement de ces deux propriétés qu'une relation d'ordre strict est antisymétrique. À dire vrai une relation d'ordre strict est antisymétrique en un sens plus fort qu'une relation d'ordre large, c’est-à-dire que si x est en relation avec y par R alors y n'est pas en relation avec x par cette relation. C'est pourquoi on qualifie parfois cette propriété d'antisymétrie forte. La relation R définie sur E est fortement antisymétrique si : : \forall (x, y) \in E^2 , \quad x R y \Longrightarrow y \not\!R x Cependant pour une relation irréflexive, comme les ordres stricts, cette propriété est équivalente à la propriété d'anti-symétrie définie pour les ordres larges. Il n'y a donc pas d'inconvénient à parler d'anti-symétrie dans les deux cas. À une relation d'ordre strict, notons la < , on associe naturellement une relation d'ordre large, notons la \le, définie par : :x \le y \iff x
Sujets connexes
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