Treillis (ensemble ordonné)

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Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre. Un treillis (en anglais : lattice) est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. On parle aussi d'espace réticulé. Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique.
Treillis (ensemble ordonné)

Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre. Un treillis (en anglais : lattice) est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. On parle aussi d'espace réticulé. Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique.

Définition algébrique

Un treillis est un ensemble E muni de deux lois internes habituellement notées \vee et \wedge vérifiant :
- les deux lois sont commutatives et associatives
- pour tout a de E, a \vee a = a et a \wedge a = a (idempotence)
- pour tout a et b de E: a \wedge (a \vee b) = a et a \vee (a\wedge b) = a (absorption) Pour démontrer que E est un treillis en tant qu'ensemble ordonné, il faut définir une relation d'ordre généralement notée \subseteq de la manière suivante : : a\subseteq b \Leftrightarrow a \vee b = b On peut montrer que cette relation est bien une relation d'ordre (éventuellement partiel). La propriété d'associativité assure la transitivité. La propriété d'idempotence assure la réflexivité. La définition même assure l'antisymétrie. Grâce à l'idempotence, on peut aussi montrer que : a \subseteq b \Leftrightarrow a \wedge b = a On peut alors vérifier que,
- Sup(a, b) = a \vee b
- Inf(a, b) = a \wedge b Ce qui assure que (E , \subseteq ) est bien un treillis.

Définition par relation d'ordre

Un treillis est un ensemble E muni d'une relation d'ordre \subseteq vérifiant, :
- pour tous éléments a et b de E, il existe une borne supérieure et une borne inférieure à l'ensemble Pour montrer que E est un treillis algébrique, il faut construire deux lois internes
- a \vee b = Sup(a, b)
- a \wedge b = Inf(a, b) Il est évident que les lois sont commutatives. On peut démontrer qu'elles sont associatives. On démontre aussi l'idempotence et l'absorbance. Donc, sur tout treillis avec relation d'ordre, on peut construire deux lois qui lui confèrent des propriétés de treillis algébrique. On trouvera alors des treillis dans lesquels on précise les deux lois internes et la relation d'ordre.

Exemples

-L'ensemble des parties d'un ensemble muni de l'inclusion forme un treillis où la borne supérieure est l'union et la borne inférieure l'intersection.
-L'ensemble des entiers naturels muni de son ordre usuel est un exemple de treillis incomplet : il n'admet pas lui-même de borne supérieure.
-Soient f, g deux fonctions boréliennes sur R, intégrables pour la mesure de Lebesgue et vérifiant ''f
Sujets connexes
Algèbre de Kleene   Diagramme de Hasse   Morphologie mathématique   Relation d'ordre   Treillis de Galois  
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