Théorème H

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Le théorème H est un théorème démontré par Boltzmann en 1872 dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, lorsqu'un gaz hors d'équilibre vérifie son équation. Selon ce théorème, il existe une certaine grandeur H(t) qui varie de façon monotone au cours du temps, pendant que le gaz relaxe vers l'état d'équilibre caractérisé par la distribution de Maxwell.
Théorème H

Le théorème H est un théorème démontré par Boltzmann en 1872 dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, lorsqu'un gaz hors d'équilibre vérifie son équation. Selon ce théorème, il existe une certaine grandeur H(t) qui varie de façon monotone au cours du temps, pendant que le gaz relaxe vers l'état d'équilibre caractérisé par la distribution de Maxwell.

Aspects historiques

La théorie cinétique des gaz, qui est basée sur l'application de la mécanique classique aux molécules constituant le gaz à l'échelle microscopique, s'est développée à partir des travaux fondateurs de Maxwell (1850) en parallèle avec la thermodynamique macroscopique. Boltzmann a contribué de façon marquante à la maturation de la théorie cinétique des gaz. Il semblait tentant d'identifier la grandeur H(t) , qui varie de façon monotone au cours du temps, à l'entropie (au signe près) introduite en thermodynamique par Clausius (1850) et qui, pour un système isolé, ne peut que croitre d'après le second principe. Cette identification aurait permis de déduire le second principe, macroscopique, à partir des lois de la dynamique des molécules, microscopiques, conformément à l'approche réductionniste de la Nature. Rapidement cependant, Loschmidt, puis Zermelo, formulèrent des critiques virulentes contre le théorème H, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ». Cette accusation ne tient plus depuis un théorème rigoureux démontré par Lanford en 1973 (lire ci-dessous).

Le paradoxe de la réversibilité

Le paradoxe de Loschmidt (1876)

LoschmidtJohann Loschmidt ; Uber das Wärmegleichgewicht eines Systems von Körpern mit Rücksicht auf die Schwere, Sitzungsber. Kais. Akad. Wiss. Wien, Math. Naturwiss. Classe 73 (1876), 128-142 ; et : 75 (1877), 67. se demande comment la grandeur H(t) peut-elle varier de façon monotone au cours du temps alors que les équations de la mécanique classique sont réversibles ? En effet, si la fonction H(t) était en train de décroitre et qu'à un instant donné, on renverse exactement toutes les vitesses de molécules, alors la nouvelle évolution se fait à l'envers, avec H(t) commençant par croitre. La réponse de Boltzmann fût brêve : « Allez-y, renversez les ! », signifiant impossibilité pratique d'une telle inversion exacteEn fait, la théorie des gaz de Boltzmann n'est pas réversible, en raison d'une hypothèse dite du « chaos moléculaire » utilisée pour traiter les chocs entre deux molécules. Cette hypothèse dit que avant un choc, les deux vitesses de chaque molécule sont indépendantes, mais pas après ce choc..

Interprétation statistique de l'entropie (Boltzmann-1877)

En 1877, Boltzamnn proposa une nouvelle définition de l'entropie : S \ = \ k_B \ \ln \ \Omega où k_B est la constante de Boltzmann, et \Omega le « nombre de complexions », c’est-à-dire le nombre de micro-états différents qui sont compatibles avec le macro-état thermodynamique donné. La croissance de l'entropie devait alors être interprétée comme un phénomène statistique : l'entropie croît parce que le système évolue en général d'un état initial improbable ( \Omega_i petit) vers un état final beaucoup plus probable ( \Omega_f > \Omega_i ). Des fluctuations locales sont bien-sûr possibles, mais leur grandeur relative tend vers zéro lorsque le nombre N de molécules tend vers l'infini, de telle sorte que l'entropie d'un système macroscopique nous semble croître de façon monotone.

Inversion des vitesses & sensibilité aux conditions initiales

Avec la découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales caractéristique des systèmes chaotiques, nous savons aujourd'hui qu'une inversion approchéee des vitesses va rapidement entrainer une déviation par rapport à l'orbite initiale exacte inversée, et ce aussi petites que soient les erreurs introduites sur les conditions initiales. Des simulations numériques montrent alors qu'après une inversion approchée, la fonction H(t) commence bien par décroitre comme le prédisait Loschmidt, mais elle se remet très rapidement à croître à nouveau et ce pour presque toutes les conditions initiales approchées, l'orbite réelle du système différant de l'orbite initiale exacte inversée.

Le paradoxe de Zermelo

Le paradoxe de Zermelo (1896)

En 1890, alors qu'il étudie le problème à 3 corps en mécanique céleste, Poincaré démontre un théorème très général : le théorème de récurrence Henri Poincaré ; Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Mathamatica 13 (1890), 1-270. Ludwig Boltzmann ; Uber einen mechanischen Satz von Poincaré, Wien. Ber. 106 (1897), 12.. Ce théorème dit que, pour presque toutes les conditions initiales, un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de volume finiPar exemple, les molécules sont contenues dans un récipent de volume fini, excluant ainsi que les positions deviennent infinies. On supposera également que les vitesses restent toujours finies. va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétéeIl existe quelques états exceptionnels pour lequel ceci n'est pas vérifié, mais ces état exceptionnels sont négligeables parmi tous les états possibles, et ce en un sens qui peut être rendu mathématiquement précis.. ZermeloErnst Zermelo ; Uber einen Satz der Dynamik une der mechanischen Wärmetheorie, Wied. Ann. 57 (1896), 793. fait alors remarquer à Boltzmann en 1896 que le théorème de récurrence de Poincaré semble contredire le fait qu'une grandeur dynamique puisse varier de façon monotone, comme H(t) le fait. La réponse de BoltzmannLudwig Boltzmann ; Entgegnung auf die wärmetheoretische Betrachtung des Herrn Zermelo, Wied. Ann. \textbf (1896), 773 ; et : \textbf (1897), 392. consiste à estimer le temps de récurrence moyen : pour un gaz macroscopique contenant N \gg 1 molécules, Boltzmann estime celui-ci d'ordre 10^N, une durée qui est largement supérieure à l'age de l'universEnviron 15 milliards d'années. lorsque N \sim \mathcal_A = 6.02 \ 10^ ; les récurrences sont donc invisibles à notre échelle.

Le modèle des urnes d'Ehrenfest (1907)

Le « modèle des urnes » est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Paul & Tatiana EhrenfestPaul Ehrenfest & Tatiana Ehrenfest ; Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-Theorem, Zeitschrift für Physik 8 (1907), 311-314. pour clarifier les paradoxes précédents apparus à la fin du dans les fondements de la mécanique statistiquePour une revue des fondements conceptuels de la mécanique statistique à cette époque, on pourra lire l'article classique (paru initialement en allemand en 1912) : Paul & Tatiana Ehrenfest ; The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Dover, Inc. (1990), ISBN 0-486-66250-0. Niveau second cycle universitaire.. Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens & des pucesD'après l'anglais : « dog-flea model ». ». Le mathématicien Mark Kac a écritMark Kac ; Probability and Related Topics in Physical Science, Lectures in Applied Mathematics Series 1a, American Mathematical Society (1957), ISBN 0821800477. à son propos qu'il était : « ... probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique ... » Ce modèle est exactement soluble ; en particulier, on sait calculer le temps de récurrence moyen de chaque état, ainsi que sa variance pour certains états intéressants.

Le théorème de Lanford (1973)

Lanford a démontré rigoureusementOscar E Lanford III ; Time Evolution of Large Classical Systems, dans : Dynamical Systems, Theory and Application, J. Moser (éditeur), Springer-Verlag (1975). Lire également : Oscar E Lanford III ; On a derivation of the Boltzmann equation, dans : Nonequilibrium phenomena I: The Boltzmann equation, Joël L Lebowitz & Elliott W Montroll (éditeurs), North-Holland (1983), 3-17. qu'un gaz de sphères dures dilué dans \mathbb^3 obéit à l'équation de Boltzmann dans la limite de Boltzmann-Grad, au moins pour un temps très court, égal seulement à un cinquième du temps de parcours moyen d'un atomeTemps moyen entre deux collisions consécutives.. En dépit de cette restriction sur la durée, ce théorème mathématique rigoureux est très important conceptuellement, puisque l'équation de Boltzmann entraine le théorème H. Il est donc aujourd'hui acquis que les mathématiques de Boltzmann ne sont pas « douteuses » ! ==
Sujets connexes
Constante de Boltzmann   Entropie   Ernst Zermelo   Espace des phases   Gaz   Henri Poincaré   Johann Josef Loschmidt   Loi de distribution des vitesses de Maxwell   Ludwig Boltzmann   Mark Kac   Modèle des urnes d'Ehrenfest   Mécanique céleste   Oscar E Lanford III   Paul Ehrenfest   Problème à N corps   Rudolf Clausius   Réductionnisme   Sensibilité aux conditions initiales   Thermodynamique   Théorie cinétique des gaz   Théorie du chaos  
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