Divisibilité

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La notion de divisibilité fonde l'arithmétique. Cet article traite de la divisibilité dans l'ensemble des nombres entiers (\mathbb).
Divisibilité

La notion de divisibilité fonde l'arithmétique. Cet article traite de la divisibilité dans l'ensemble des nombres entiers (\mathbb).

Définition

Soient a et b deux entiers. Dire que a divise b est équivalent à dire que
- a est un diviseur de b (si a est non nul)
- b est un multiple de a
- il existe un entier k tel que b = a.k
- \exists k \in \mathbb, b=ak
- a | b

Propriétés de la divisibilité

Soient a, b et c trois entiers.
- a | a (réflexivité)
- -a | a
- a | 0
- 1 | a
- a|b \land b|c \Rightarrow a|c (transitivité)
- a|b \Rightarrow ac|bc
- \forall (u, v)\in\mathbb^2, a|b \land a|c \Rightarrow a|(bu+cv) (conservation par combinaison linéaire)
- a|b \land b|a \Rightarrow |a|=|b| (antisymétrie)
- La relation de divisibilité est une relation d'ordre partiel sur \mathbb.
- \mathbb muni de la divisibilité, du pgcd et du ppcm est un treillis.

Voir aussi

-Critères de divisibilité
-Nombres premiers
-Plus grand commun diviseur
-Division euclidienne Catégorie:Divisibilité et factorisation
Sujets connexes
Arithmétique   Combinaison linéaire   Division euclidienne   Entier relatif   Plus grand commun diviseur   Plus petit commun multiple   Relation d'ordre   Réflexivité   Transitivité   Treillis (ensemble ordonné)  
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