Valuation

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En mathématiques, plus particulièrement en géométrie algébrique et en théorie des nombres, une valuation est une mesure de la multiplicité. La notion est une généralisation de la notion de degré ou d'ordre d'annulation d'un polynôme en algèbre, du degré de divisibilité par un nombre premier en théorie des nombres, de l'ordre d'un pôle en analyse complexe ou du nombre de points de contact entre deux variétés algébriques en géométrie algébrique.
Valuation

En mathématiques, plus particulièrement en géométrie algébrique et en théorie des nombres, une valuation est une mesure de la multiplicité. La notion est une généralisation de la notion de degré ou d'ordre d'annulation d'un polynôme en algèbre, du degré de divisibilité par un nombre premier en théorie des nombres, de l'ordre d'un pôle en analyse complexe ou du nombre de points de contact entre deux variétés algébriques en géométrie algébrique.

Définition

On appelle valuation une application d'un anneau commutatif unitaire (A, +, .) non nul vers un groupe abélien totalement ordonné (G, +, >) union l'infini :v: AG ∪ ∞ qui vérifie les propriétés suivantes :
- v(x) = ∞ ssi x = 0 ;
- v(xy) = v(x) + v(y), autrement dit v est un morphisme de (K
-, .) dans (G, +) ;
- v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)), ce qui est relié à l'inégalité triangulaire dans les espaces métriques. Notes :
- On utilise les conventions classiques a < ∞ et a + ∞ = ∞ pour tout a ∈ G.
- Certains auteurs se restreignent à une valuation sur un corps.
- On demande parfois à v d'être surjective.

Valuations discrètes

Lorsque G est ℤ muni de l'addition, v est dite valuation de Dedekind ou valuation discrète. Deux valuations discrètes v1 et v2 sont équivalentes si et seulement elles sont proportionnelles, c'est-à-dire s'il existe un entier k tel que :∀ xG : v2(
x) = k.v1(x) ou :∀ xG : v1(x) = k.v2(x). Les classes d'équivalence des valuations discrètes sur un anneau A sont appelées places.

Valuation triviale

La valuation : est dite valuation triviale.

Propriétés

Propriétés générales

A est un anneau commutatif unitaire non nul muni d'une valuation v.
- v(1) = v(-1) = 0.
- v(
x - y) ≥ min(v(x), v(y)).
- Si v(
x) < v(y) alors v(x + y) = min(v(x), v(y)).
- A est intègre.
- v se prolonge sur le corps des fractions Frac A :
- pour tout p/
q dans Frac A, v(p/q) = v(p) - v(q) ;
- la prolongation est unique.
- Soit R = , alors
- R est un anneau intègre ;
- pour tout inversible x ∈ (Frac A)
-, xR ou x-1 ∈ R ;
- Frac R = Frac A.

Valuations discrètes sur ℚ

Les places de ℚ, c'est-à-dire les valuations discrètes sur ℚ à un facteur de proportionnalité près, sont :
- la valuation triviale ;
- les valuations
p-adiques (cf. exemple ci-dessous).

Valeur absolue associée

Soit v une valuation sur A à valeur dans G ⊆ ℝ, et ρ ∈ ]0, 1 l'anneau des polynômes à coefficients dans K. Pour aK, on définit l'application : qui à un polynôme P non nul associe le degré du plus petit monôme non nul de P(
X - a) et à un polynôme nul, l'infini. va(P) est l'ordre d'annulation de P en a ; pour un polynôme à coefficients réels ou complexes, il s'agit du plus petit entier positif ou nul n tel que dn'P/dP'n(a) soit non nul. Note : cela marche également pour a dans la clôture algébrique de K.

Ordre d'annulation d'une fraction rationnelle

Soit K un corps et K(
X) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K. On définit l'application : qui à une fraction rationnelle associe la différences des ordres d'annulation du numérateur et du dénominateur en a. Si v(R) est positif, il s'agit de l'ordre d'annulation de R en a, si v(R) est strictement négatif, il s'agit de l'ordre du pôle de R en a.

Opposé du degré d'un polynôme

Soit K un corps et K l'anneau des polynômes à coefficients dans K. On définit l'application : qui à un polynôme P associe l'opposé de son degré avec la convention deg 0 = -∞.

Ordre d'une série de Laurent

-Sur le corps F((T)) des séries formelles de Laurent sur un corps commutatif F, on a une valuation en associant à tout série de Laurent son ordre en un élément donné de F.

Ordre d'une fonction méromorphe

-Si U est un ouvert connexe non vide du corps des nombres complexes et si a est un point de U, on a une valuation sur le corps des fonctions méromorphes sur U en associant à tout fonction méromorphe sont ordre au point a'.

Valuation p-adique

Pour p un nombre premier, on définit l'application : qui à un entier n associe l'exposant de p dans la décompositon en nombres premiers de n, avec la convention v
p(0) = ∞. vp est appelée valuation p-adique sur ℤ et se prolonge sur le corps des fractions ℚ. Cette valuation définit la norme p-adique pour laquelle la clôture algébrique de ℚ est l'ensemble des nombres p-adiques ℚp''.

Le point de vue métrique

Si v une valuation sur un corps K à ℝ. Alors l'application : (x, y)\mapsto\exp(-v(x-y)) est une distance sur K qui fait de K un corps topologique. On dit que K est complet pour v s'il est complet pour cette distance. La complétion de K pour v est le procédé décrit ci-dessous :
-On note A l'anneau des suites de Cauchy de F, et on identifie les éléments de A aux suites constantes. La valuation de K se prolonge à A en une valuation encore notée v. L'ensemble Ides suites de Cauchy tendant vers 0 est un idéal maximal de A sur lequel la valuation est triviale.
-Le quotient de A par I est un corps commutatif C, que l'on appelle complété de K pour v, et K s'identifie canoniquement à un sous-corps de C. On obtient sur C une valuation qui prolonge v. Le corps Kest dense dans C, pour cette valuation sur C. Par exemple, \mathbb Q_p ou le corps k((T)) peuvent être obtenus par cette construction.

Le point de vue algébrique

Si K un corps commutatif et v une valuation sur K. Les éléments de K de valuation positive constituent un sous-anneau noté O. C'est un anneau local, dont l'unique idéal maximal, constitué des éléments de valuation strictement positive, est noté M. Par exemple, quand K = \mathbb Q_p, on obtient O=\mathbb Z_p. Si F estun corps commutatif, pour K = F((T)), on obtient O=FT.

Voir aussi

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Sujets connexes
Algèbre   Analyse complexe   Anneau commutatif   Anneau intègre   Anneau local   Clôture algébrique   Coefficient   Contact (géométrie)   Corps (mathématiques)   Corps des fractions   Divisibilité   Dénominateur   Entier relatif   Espace métrique   Exposant (mathématiques)   Fraction rationnelle   Groupe abélien   Géométrie algébrique   Infini   Inégalité triangulaire   Mathématiques   Monôme   Morphisme   Nombre complexe   Nombre p-adique   Nombre premier   Nombre réel   Norme ultramétrique   Numérateur   Ordre total   Polynôme   Proportionnalité   Pôle   Pôle (mathématiques)   Suite de Cauchy   Surjection   Série formelle   T   Théorie des nombres   Union (mathématiques)   Valeur absolue   Variété algébrique  
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