Structure algébrique

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes. L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans le cadre de l'algèbre universelle. Ce qui suit consiste essentiellement en une énumération et une classification de la plupart des
Structure algébrique

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes. L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans le cadre de l'algèbre universelle. Ce qui suit consiste essentiellement en une énumération et une classification de la plupart des structures algébriques usuelles, éventuellement munies d'une structure supplémentaire.

Structures algébriques pures

Ces structures ne comportent que des lois de composition.

Structures de base

Elles ne comportent que des lois de composition interne. Les plus importantes sont les structures de groupe, d’anneau et de corps.

Groupoïdes

Les structures algébriques les plus simples ne comportant qu’une loi de composition interne.
- Magma (ou groupoïde) : ensemble avec une seule loi de composition interne. (Attention, le terme groupoïde a un autre sens en théorie des catégories.)
- Paragroupe : un magma permutatif, commutatif et régulier.
- Antigroupe : un magma permutatif, régulier et involutif à droite.
- Quasigroupe : un magma symogène.
- Boucle : un quasigroupe unifère, c’est-à-dire possèdant un élément neutre.
- Moufang : une boucle neutroactive.
- Semi-groupe : un magma associatif;
- Monoïde : un semi-groupe unifère.
- Groupe : un monoïde inversible, c’est-à-dire où tout élément possède un inverse; c’est aussi une boucle associative.
- Groupe abélien : un groupe commutatif.

Annélides

Ces structures comportent deux lois de composition internes.
- Pseudo-anneau : un ensemble muni d’une structure de groupe (la loi de composition étant nommée addition) et d’une structure de semi-groupe (la loi de composition correspondante étant nommée multiplication), la multiplication étant distributive sur l’addition.
- Anneau : un pseudo-anneau dont le semi-groupe multiplicatif est un monoïde. Certains auteurs appellent anneau ce que l'on a appelé pseudo-anneau et appellent anneau unitaire ce que l'on a appellé anneau.
- Anneau commutatif : anneau dont la multiplication est commutative.
- Semi-anneau : similaire à un anneau, mais pour l'addition il est un monoïde et pas nécessairement un groupe.
-Anneau intègre: un anneau commutatif non nul et sans diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de l'anneau est régulier pour la multiplication.
- Corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l'est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer : :- « corps commutatif » pour un corps effectivement commutatif, :- et « corps commutatif ou non », ou « corps quelconque », pour un corps non nécessairement commutatif.
- Corps commutatif, corps non commutatif : dans la tradition française un « corps » n’est pas nécessairement commutatif ; en anglais, un corps commutatif est appelé field, et un corps non commutatif division ring. Un glissement de sens tend à aligner la terminologie française sur la terminologie anglaise et à qualifier les corps non commutatifs d' « anneaux à (ou de) division » et les corps commutatifs de « corps » tout court. Cette dernière appellation est à éviter car elle amène désormais une ambiguïté : le « corps » considéré est-il commutatif ou quelconque ?

Structures à opérateurs externes

Ces structures peuvent être considérées d’un point de vue algébrique ou géométrique. Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne. Géométriquement, c’est un ensemble sur lequel agit un ensemble-opérateur, ou ensemble d’opérateurs, dits aussi scalaires. C’est donc un ensemble muni d’une action de l’ensemble-opérateur dans cet ensemble, c’est-à-dire d’une application de l’ensemble-opérateur dans l’ensemble des applications de cet ensemble dans lui-même. La correspondance entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action.

Espaces homogènes

Ces structures ne comportent qu'une seule loi, externe.
- Ensemble à opérateur dans un monoïde M (M-ensemble) : ensemble E muni d'une loi externe de M sur E qui est exo-associative et exo-unifère
- Ensemble homogène ou ensemble homogène sur un groupe G : G-ensemble E pour lequel l'opération de G sur E est transitive.

Moduloïdes

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.
- Groupe à opérateurs ( dans un ensemble ) : groupe muni d’une loi externe sur un ensemble d’opérateurs, distributive par rapport à la loi du groupe
- Module à gauche ( sur un anneau) : groupe abélien muni d’une loi externe sur un anneau A, loi vérifiant les quatre propriétés suivantes : :
- distributivité à gauche par rapport à la loi du groupe, :
- exo-distributivité à gauche par rapport à la première loi de l'anneau, :
- exo-associativité à gauche par rapport à la seconde loi de l'anneau :
- et exo-absorption à gauche, l'élément absorbant étant l'élément neutre du groupe, et le scalaire assurant cette absorption étant l'élément neutre de la première loi de l'anneau (on peut établir une analogie avec ce qui se passe dans un corps, où l'élément neutre de la première loi est absorbant pour la seconde loi).
- Module à droite ( sur un anneau) : module sur un anneau opposé à un anneau muni d'un module à gauche.
- Module ( sur un anneau) : module à gauche sur un anneau A commutatif. En fait, dans ce cas, les notions de module à droite et à gauche se confondent.
- Espace vectoriel à gauche ( sur un corps) : module à gauche sur un corps K.
- Espace vectoriel à droite ( sur un corps) : module à droite sur un corps K. En d'autres termes, les espaces vectoriels à droite sur K sont les espaces vectoriels sur le corps opposé à K.
- Espace vectoriel ( sur un corps) : module sur un corps K commutatif.
- Espace affine (sur un corps) : espace homogène d'un espace vectoriel sur un corps K. Si la caractéristique de K est différente de 2, il existe une définition des espaces affines sur ce corps indépendante de la notion d'espace vectoriel. Un espace affine est alors un ensemble muni de deux lois : :
- l'une, interne, pour laquelle il est un paragroupe (dans le cas d'un espace affine euclidien, il s'agit de la loi milieu, qui à deux points, associe leur milieu géométrique); :
- l'autre, externe, qui vérifie des propriétés analogues à celles de la loi externe d'un module (dans le cas d'un espace affine euclidien, cette loi externe, qui dépend du choix d'un point arbitraire O, associe à un point P et un scalaire x le résultat de l'application à P de l'homothétie affine de rapport x et d'origine O).

Algèbres

Structures possédant deux lois internes et une loi externe.
- Algèbre ( sur un anneau commutatif ) : un module (ou un espace vectoriel) muni en plus d’une loi de composition interne bilinéaire.
- Algèbre associative : une algèbre dont la multiplication est associative.
- Algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative.
- Algèbre associative unitaire : algèbre associative ayant un élément neutre pour la multiplication.
- Algèbre de Lie : un type particulier d’algèbre généralement non associative, importante dans l'étude des groupes de Lie.
- Algèbre de Jordan : un type particulier d’algèbre généralement non associative.

Bialgèbres

Structure possédant deux lois internes, une loi externe, et une loi "duale" de l'une des deux lois internes.
- Algèbre de Hopf

Structures algébriques ordonnées

Groupes ordonnés et anneaux ordonnés

On s'intéresse ici aux structures algébriques compatibles avec une relation d'ordre.
- Un monoïde ordonné est un monoïde commutatif muni d'une relation d'ordre pour laquelle les applications partielles de la loi de interne sont croissantes. On définit de même des monoïdes préordonnés en remplaçant des les relations d'ordre par des relations d'ordre.
- Un groupe ordonné est un monoïde ordonné qui est un groupe commutatif. Un groupe préordonné est un monoïde préordonné qui est un groupe.
- Un anneau ordonné est un anneau commutatif muni d'une relation d'ordre pour laquelle il est groupe ordonné pour l'addition et tel que le produits de deux éléments supérieurs ou égaux à 0 sont supérieurs ou égaux à 0.
- Un corps ordonné est un anneau ordonné qui est un corps et dont la relation d'ordre est totale.

Treillis

Ensembles munis de deux lois internes, qui peuvent aussi s’interpréter comme la borne supérieure et la borne inférieure des couples au sens des relations d'ordre.
- Treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes satisfaisant la loi d’absorption.
- Algèbre de Boole : un treillis borné, distributif et complémenté.

Structures algébriques topologiques

Structures et topologies, distances, normes ou produits scalaires

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles topologiques. Ainsi, en allant du général au particulier :
- Une structure algébrique peut être munie d'une topologie, devenant ainsi un espace topologique pour lesquelles chacune de ses loi externes et internes sont continues. : :
- Un semi-goupe topologique est un semi-groupe muni d'une topologie telle que sa loi de composition interne est continue. :
- Un monoïde topologique est un semi-groupe topologique qui est un monoïde. :
- Un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie telle que sa loi de composition interne soit continue ainsi que les l'application qui à un élément associe son inverse est continue. :
- Un anneau topologique est un anneau muni d'un topologique pour laquelle le groupe additif sous-jacent est un groupe topologique et le monoïde multiplicatif sous-jacent est un monoïde topologique. :
- Un corps topologique est un anneau topologique qui est un corps tel que le groupe multiplicatif des élément non nul est un groupe topologique pour la topologie induite. :
- Un corps valué est un corps (commutatif ou non) muni d'une valeur absolue, et est un corps topologique pour la topologie définie par cette valeur absolue. :
- Un module topologique sur un anneau topologique A est un module sur A muni d'un topologie pour laquelle il est un groupe topologique et pour laquelle la loi externe est continue. :
- Un espace vectoriel topologique sur un corps topologique (par exemple le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes) est un module topologique sur ce corps topologique. :
- Une algèbre topologique sur un anneau topologique commutatif sont des algèbres sur cet anneau topologique A pour laquelle elle est un module topologique sur A et pour laquelle la multiplication est continue.
- Plus particulièrement, la structure algébrique peut être munie d'une distance, devenant un espace métrique : :
- Un cas important est celui des espaces vectoriels possédant une norme, qui définit la « longueur » d’un vecteur : ::
- Les espaces semi-normés (ou espaces vectoriels semi-normés) sont des espaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une semi-norme. ::
- Les espaces normés (ou espaces vectoriels normés) sont des espaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une norme. Les espaces normés sont des espaces métriques, car il est toujours possible de construire une distance à partir d’une norme : on prend comme distance entre deux vecteurs la norme de leur différence. ::
- Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet. :
- Un espace affine normé est un espace affine attaché à un espace vectoriel normé. C'est un espace métrique : il est possible de définir la distance entre deux points comme la norme du vecteur qui va du premier point au second. :
- Les espaces préhilbertiens sont des espaces vectoriels réels ou complexes munis d'un produit scalaire. Cet espace vectoriel est un espace normé : la norme d'un vecteur est la racine carrée de son carré scalaire. Notons qu'un espace normé est au plus d'une manière un espace préhilbertien, la norme déterminant le produit scalaire. Quelques cas importants ont reçu un nom : ::
- Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel préhilbertien sur \mathbb de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme quadratique correspondante est définie positive. Un espace affine euclidien est un espace affine attaché à un espace vectoriel euclidien, muni de la distance, dite euclidienne, déduite de la norme euclidienne. Cet espace est celui de la géométrie classique d’Euclide. ::
- Un espace vectoriel hermitien est un espace vectoriel préhilbertien complexe de dimension finie. ::
- Un espace de Hilbert (ou espace hilbertien) est un espace préhilbertien complet. C’est donc un espace de Banach particulier. Les espaces vectoriels euclidiens et hermitiens sont des exemples d'espaces de Hilbert.

Structures et géométrie différentielle et algébrique

:
- Un groupe de Lie réel ou complexe est un groupe muni d'une structure de variété analytique réelle ou complexe (ou de variété différentielle dans le réel, c'est suffisant) pour laquelle la loi de composition est analytique (ou indéfiniment différentiable dans le cas réel), ainsi que l'appelle qui à un élément associe son inverse. Les groupes de Lie réels et complexes sont des groupes topologiques. Un groupe topologique est le groupe topologique sous-jacent à au plus un groupe de Lie réel, et ainsi on peut dire, sans ambiguïté, que certains groupes topologiques sont des groupes de Lie réels. On peut aussi définir les groupes de Lie sur un corps valué complet commutatif K dont la valeur absolue est non triviale (en particulier sur le corps des nombres p-adique) en remplaçant les variétés analytiques réelles ou complexes par les variétés K-analytiques. :
- Un espace homogène de Lie d'un groupe de Lie réel G est une variété différentielle X, munie d'un loi externe de G sur X qui est indéfiniment différentiable. :
- Un groupe algébrique sur un corps algébriquement clos K est un groupe muni d'une structure de variété algébrique sur K pour laquelle la loi de composition est régulière, ainsi que l'application qui à un élément associe son inverse.

Structures algébriques et catégories

Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.

Voir aussi

-Algèbre générale
-Algèbre universelle
- Procédure de Knuth et Bendix Catégorie:Algèbre Catégorie:Structure algébrique Catégorie:Liste en rapport avec les mathématiques ar:بنية جبرية ca:Estructura algebraica cs:Algebraická struktura de:Algebraische Struktur en:Algebraic structure es:Estructura algebraica eu:Egitura algebraiko he:מבנה אלגברי it:Struttura algebrica ja:代数的構造 ko:대수적 구조 nl:Algebraïsche structuur nn:Algebraisk struktur no:Algebraisk struktur oc:Estructura algebrica pms:Strutura algébrica pt:Estrutura algébrica ru:Алгебраическая система simple:Algebraic structure sk:Algebrická štruktúra sr:Алгебарска структура sv:Algebraisk struktur uk:Алгебраїчна система zh:代数结构
Sujets connexes
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