Liste de fractales par dimension de Hausdorff

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Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante. En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique.
Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante. En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique.

Fractales déterministes

δ < 1

| class="wikitable" ! δ(val. exacte) || δ(val. approchée) || Nom || Illustration || width="40%" | Remarques |- | \frac \ln(2) \ln(\delta_F) || align="right" | || Bifurcations équation logistique || align="center" |150px || Dans le diagramme de bifurcation, à l'approche de chaque région chaotique, une succession de doublements de période s'effectue en progression géométrique tendant vers \tfrac1\delta_F. (\delta_F étant ici la constante de Feigenbaum et vaut environ ). |- | \frac \ln(2) \ln(3) || align="right" | || Ensemble de Cantor || align="center" |150px || Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. |- | \frac \ln(5) \ln(9) || align="right" | || Fractale UNU || align="center" |150px || Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u -> unu (un « u ») -> unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») -> etc. |- | \frac \ln(6) \ln(8) || align="right" | || Ensemble de Smith-Volterra-Cantor || align="center" |150px || Construit en retirant le quart central à chaque itération. N'est nulle part dense mais a pour mesure de Lebesgue 1/2. |

1 < δ < 2

| class="wikitable" ! δ(val. exacte) || δ(val. approchée) || Nom || Illustration || width="40%" | Remarques |- | \frac \ln(8) \ln(7) || align="right" | || Île de Gosper || align="center" |100px || |- | Mesuré(box counting) || align="right" | 1.2 || Ensemble de Julia "Dendrite" || align="center" |150px || Ensemble de Julia pour z0=i |- | || align="right" | || Attracteur de Hénon || align="center" |100px || La carte de Hénon canonique (a = 1, 4 et b = 0.3) possède δ = 1, 261 ± 0, 003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ |- | \frac \ln(4) \ln(3) || align="right" | || Courbe de Koch || align="center" | 200px || En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée. |- | \frac \ln(2) \ln(\sqrt3) || align="right" | || Frontière de la Courbe Terdragon, Fudgeflake || align="center" |150px || L-System : similaire à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle. |- | \frac \ln(4) \ln(3) || align="right" | || Carré de Cantor || align="center" |100px || Ensemble de Cantor en deux dimensions. |- | || align="right" | || Baderne d'Apollonius || align="center" |100px || |- | \frac \ln(5) \ln(3)|| align="right" | || Fractale box || align="center" |100px || Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés. |- | \frac \ln(5) \ln(3)|| align="right" | || Courbe de Koch quadratique (type 1) || align="center" |150px || On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment. |- |\frac \ln(8) \ln(4)|| align="right" | || Courbe de Koch quadratique (type 2) || align="center" |150px || Appelée également « saucisse de Minkowski ». |- | || align="right" | ||Frontière courbe du dragon || align="center" | 150px|| Cf. Chang & Zhang . |- | \frac \ln(3) \ln(2) || align="right" | || Arbre à trois branches || align="center" | 110px110px || Chaque branche porte trois branches (ici 90° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales. |- | \frac \ln(3) \ln(2) || align="right" | || Triangle de Sierpiński || align="center" | 100px || C'est également le triangle de Pascal modulo 2. |- | \frac \ln(3) \ln(2) || align="right" | || Courbe de Sierpiński en pointe de flèche || align="center" | 100px || Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle. |- | 1+log_3(2) || align="right" | || Triangle de Pascal modulo 3 || align="center" | 150px || D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est \scriptstyle 1 + log_k(\frac)(Cf.Stephen WolframStephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984)) |- | 1+log_5(3) || align="right" | || Triangle de Pascal modulo 5 || align="center" | 150px || D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est \scriptstyle 1 + log_k(\frac)(Cf.Stephen Wolfram) |- | \frac \ln(7) \ln(3) || align="right" | || Flocon hexagonal || align="center" | 100px || Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa fontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif). |- | \frac \ln(4) \ln(2(1+\cos(85^\circ)) || align="right" | || Courbe de Koch à 85°, fractale de Cesàro || align="center" | 150px || Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors \scriptstyle \frac\ln(N)\ln(2(1+cos(a)). La fractale de Cesàro est basée sur ce motif. |- | \frac \ln(6) \ln(1+\phi) || align="right" | || Flocon pentagonal (''pentaflake) || align="center" | 100px || Construit en susbtituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, \phi est le nombre d'or et vaut \scriptstyle\frac1+\sqrt |- | \frac \ln(8) \ln(3) || align="right" | || Tapis de Sierpiński || align="center" | 100px || |- | \frac \ln(8) \ln(3) || align="right" | || Cube de Cantor || align="center" | 100px|| Ensemble de Cantor en trois dimensions. |- |Estimé || align="right" | || Frontière de la fractale de Lévy || align="center" | 100px || Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2. |- | || align="right" | || Pavage de Penrose || align="center" | 100px || Cf. Ramachandrarao, Sinha & SanyalP. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling

δ = 2

| class="wikitable" ! δ(val. exacte) || δ(val. approchée) || Nom || Illustration || width="40%" | Remarques |- | 2 || align="right" | || Ensemble de Mandelbrot || align="center" | 100px || Tout ensemble du plan contenant un disque possède une dimension de Hausdorff δ = 2. La frontière de l'ensemble de Mandelbrot possède également une dimension de Hausdorff δ = 2. |- | 2 || align="right" | || Courbe de Sierpiński || align="center" | 100px || Toute courbe remplisant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2. |- | 2 || align="right" | || Courbe de Hilbert || align="center" | 100px|| |- | 2 || align="right" | || Courbe de Peano || align="center" | 100px|| et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich ou les courbes de Moore. |- | 2 || align="right" | || Courbe de Lebesgue || align="center" | 100px|| Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3. . |- | \frac \ln(2) \ln(\sqrt) || align="right" | || Courbe du Dragon || align="center" | 150px|| Sa frontière a une dimension fractale de (Cf.Chang & Zhang) |- | || align="right" | || Courbe "Terdragon" || align="center" | 150px|| L-System : F-> F+F-F ; angle=120°. |- | \frac \ln(4) \ln(2) || align="right" | || T-square || align="center" | 200px|| |- | \frac \ln(4) \ln(2) || align="right" | || Courbe de Peano-Gosper || align="center" | 100px|| Sa frontière est l'île de Gosper. |- | \frac \ln(4) \ln(2) || align="right" | || Tétraèdre de Sierpiński || align="center" | 80px|| |- | \frac \ln(4) \ln(2) || align="right" | || Fractale H || align="center" |150px|| Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire. |- | \frac \ln(2) \ln(\sqrt/2) || align="right" | || Arbre de Pythagore || align="center" |150px|| Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de racine(2)/2. |- | \frac \ln(4) \ln(2) || align="right" | || Fractale en croix grecque || align="center" | || Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments. |

2 < δ < 3

| class="wikitable" ! δ(val. exacte) || δ(val. approchée) || Nom || Illustration || width="40%" | Remarques |- | || align="right" | || Attracteur étrange de Lorentz || align="center" |100px || Pour des valeurs spécifiques des paramètres de l'attracteur. |- | \frac \ln(20) \ln(2+\phi) || align="right" | || Dodécaèdre fractal || align="center" |100px|| Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres. |- | \frac \ln(13) \ln(3) || align="right" | || Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1 || align="center" |150px|| Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération). |- | || align="right" | || Interstices des sphères apolloniennes || align="center" |100px || Baderne d'apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. PeikertM. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing . |- | \frac \ln(32) \ln(4) || align="right" | || Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2 || align="center" |150px|| Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la première itération). |- | \frac \ln(16) \ln(3) || align="right" | || Hypercube de Cantor || align="center" | || Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à \scriptstyle n\frac\ln(2)\ln(3) |- | \frac \ln(12) \ln(1+\phi) || align="right" | || Icosaèdre fractal || align="center" |100px|| Chaque icosaèdre est substitué par 12 icosaèdres. |- | \frac \ln(6) \ln(2) || align="right" | || Octaèdre fractal || align="center" |100px|| Chaque octaèdre est substitué par 6 octaèdres. |- | \frac \ln(6) \ln(2) || align="right" | || Fractale en croix grecque en trois dimensions || align="center" |200px|| Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions. |- | \frac \ln(20) \ln(3) || align="right" | || Éponge de Menger || align="center" | 100px || Sa surface a une dimension fractale de \scriptstyle \frac\ln(12)\ln(3) = 2, 2618. |

δ = 3

| class="wikitable" ! δ(val. exacte) || δ(val. approchée) || Nom || Illustration || width="40%" | Remarques |- | \frac \ln(8) \ln(2) || align="right" | || Courbe de Hilbert en trois dimensions || align="center" | 100px|| Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions |- | \frac \ln(8) \ln(2) || align="right" | || Courbe de Lebesgue en trois dimensions || align="center" | || Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions.. |

Fractales aléatoires et naturelles

| class="wikitable" ! δ(val. exacte) || δ(val. approchée) || Nom || Illustration || width="40%" | Remarques |- |mesuré || align="right"|1, 24 || Côte de Grande-Bretagne || align="center"| 100px || |- |\frac || align="right" | 1, 33 || Frontière du mouvement brownien || align="center" |150px || |- |\frac || align="right" | 1, 33 || Polymère en deux dimensions || align="center" | || Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection. |- |\frac || align="right" | 1, 33 || Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions || align="center" | 150px || Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59, 3%). C'est également la dimension fractale du front de corrosion. |- | || align="right" | 1, 40 || Agrégat d'agrégats en deux dimensions || align="center" | || Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1, 4. |- | Mesuré || align="right" | 1, 52 || Côte de Norvège || align="center" |100px || |- | Mesuré || align="right" | 1, 55 || Marche aléatoire sans intersection || align="center" | 150px || Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses. |- | \frac || align="right" | 1, 66 || Polymère en trois dimensions || align="center" | || Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection. |- | || align="right" | 1, 70 || Agrégat par diffusion en deux dimensions || align="center" | 150px || En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1, 70. |- | \frac || align="right" | 1, 8958 || Amas de percolation en deux dimensions || align="center" | 150px || Sous le seuil de percolation (59, 3%), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48. Au delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ». |- | \frac \ln(2) \ln(\sqrt) || align="right" | 2 || Mouvement brownien || align="center" | 150px || Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2. |- | \frac \ln(13) \ln(3) || align="right" | 2, 33 || Surface du chou-fleur || align="center" | 100px || Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes. |- | || align="right" | 2, 4 ± 0, 2 || Boule de papier froissé || align="center" | 100px || Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé. Les plis se forment à toutes les échelles. |- | || align="right" | 2, 50 || Agrégat par diffusion en trois dimensions || align="center" |100px || En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2, 5. |- | Mesuré || align="right" | 2.66 || Brocoli || align="center" | 100px || |- | || align="right" | 2.79 || Surface du cerveau humain

Voir aussi

Références

Bibliographie

- Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd (mars 1990), ISBN 0471922870
- Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co (septembre 1982), ISBN 0716711869 .
- Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag (août 1988), ISBN 0387966080
- Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0120790610
- Bernard Sapoval, Universalités et fractales, , Flammarion, collection Champs (2001), ISBN 2080814664 ===
Sujets connexes
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