Surface de révolution

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Une surface de révolution est une surface paramétrée et orientée de , la surface balayée par la rotation d'une courbe plane. Les surfaces de révolution comprennent les tores, les sphères, les cylindres, les sphéroïdes, les hyperboloïdes, ...
Surface de révolution

Une surface de révolution est une surface paramétrée et orientée de , la surface balayée par la rotation d'une courbe plane. Les surfaces de révolution comprennent les tores, les sphères, les cylindres, les sphéroïdes, les hyperboloïdes, ...

Paramétrage

Soit une courbe c(s)=(x(s), y(s), z(s)) tracée dans sans point d'inflexion et paramétrée par longueur d'arc. La rotation d'axe l'axe des ordonnées engendre une surface paramétrée : :X(s, \theta)=\begin \cos \theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end \begin x(s)\\ y(s)\\ z(s) \end = \begin x(s)\cos\theta-y(s)\sin\theta\\ x(s)\sin \theta+y(s)\cos\theta\\ z(s) \end

Exemples

Un hyperboloïde
- L'exemple le plus simple d'une courbe tracée dans l'espace est celui de la droite affine c:s\mapsto c(0)+s\cdot V où V est un vecteur unitaire (paramétrage par longueur d'arc).
- Si V est orthogonal à (0, 0, 1), la surface obtenue est une portion du plan c(0)+V^\bot.
- Si V n'est pas orthogonal à (0, 0, 1), mais que c(0), V et (0, 0, 1) sont des vecteurs coplanaires, alors la surface engendrée est un cône de révolution, d'axe de symétrie R.(0, 0, 1) et d'angle au sommet \arccos V_z.
- Dans les autres cas, la surface obtenue est une surface réglée non dégénérée, à savoir un hyperboloïde d'axe de révolution R.(0, 0, 1). Pour l'établir, fixons un angle \epsilon tel que R(\epsilon)V=W où W est un vecteur unitaire orthogonal à (1, 0, 0). Le paramétrage est : ::::x(s)=x(0) et y(s)=s.v et z(s)=s.w où v^2+w^2=1. ::::\fracx(s, \theta)+\fracy(s, \theta)-\fracz(s, \theta)=\frac
- De nombreux autres exemples occurent en mathématiques :
- La sphère de centre 0 et de rayon R est la surface obtenue par rotation autour de l'axe des ordonnées d'un cercle de centre 0 et de rayon R tracé dans un plan vertical. Son paramétrage est : ::X(s, \theta)=\begin \cos s\cdot\cos\theta\\ \cos s\cdot\sin \theta\\ \sin s \end Tore
- Un autre exemple est le tore, surface obtenue par rotation autour de l'axe des ordonnées d'un cercle n'intersectant pas l'axe des ordonnées. Son paramétrage est : ::X(s, \theta)=\begin \left(R+r\cos s\right)\cdot\cos\theta\\ \left(R+r\cos s\right)\cdot\sin \theta\\ r\sin s \end ::où donc r
Sujets connexes
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