Calcul intégral

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Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.
Calcul intégral

Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.

Primitives

Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\, . Une fonction F\, est une primitive de f\, sur l’intervalle I\, si F\, est dérivable sur I\, et si pour tout x\, de I\, , F' (x) = f(x)\, . Si f\, est une fonction continue sur un intervalle I\, , alors il existe au moins une fonction F\, dérivable sur I\, telle que f\, soit la dérivée de F\, sur I\, . F\, est alors une primitive de f\, sur I\, . Par exemple, si f\, est définie sur \R\, par f\colon x \mapsto 6x, alors la fonction F\, définie sur \R\, par F\colon x \mapsto 3x^2\, admet pour dérivée f\, , et donc F\, est une primitive de f\, sur \R\, . Si F\, est une primitive de f\, sur I\, , alors pour toute constante k\, , la fonction G\, définie sur \R par G\colon x \mapsto F(x) + k\, est aussi une primitive de f\, sur I\, car la dérivée d'une application constante est la fonction nulle. On en déduisons que si f\, admet une primitive sur I\, alors elle en admet une infinité.

Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle

Deux primitives différentes d'une même fonction f\, ne diffèrent que d'une constante. En effet si F\, et G\, sont deux primitives de f\, alors F' = G' = f\, donc (F - G)' = 0\, . I\, étant un intervalle, nous en déduisons qu’il existe C\, une constante définie sur telle que F - G = C\, soit F = G + C\, Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\, . Si f\, admet une primitive F\, sur I\, , alors l'ensemble des primitives de f\, sur I\, est l'ensemble des fonctions G\, de la forme : :G : I \rightarrow \R\, :x \mapsto F(x) + k\, où k\, est une constante réelle. On remarque que les primitives de la fonction nulle sont les fonctions constantes. Soit I\, un intervalle, a\, un réel de I\, et b\, un réel quelconque. Il existe une et une seule primitive F\, , d’une fonction f\, continue sur I\, , telle que F(a)=b\, . F\, est appelée la primitive de f\, sur I\, vérifiant la condition initiale : F(a) = b\, . Par exemple pour trouver la primitive de f(x) = 7x - 3\, vérifiant la condition initiale F(1)=1\, . On calcule d'abord la forme générale de la primitive F(x)=7 \over 2x^2-3x+k\, . Puis on résout l'équation 7 \over 2
-1^2-3
-1+k=1\, et on obtient k=1 \over 2\, et donc la primitive recherchée est F(x)=7 \over 2x^2-3x+1 \over 2\, .

Intégrale

Définition de l’intégrale à partir de la notion de primitive

Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\, et admettant des primitives sur I\, . Soient a\, et b\, dans I\, . Soit F\, une primitive de f\, sur I\, . Nous appelons intégrale de a\, à b\, de f\, , le nombre : :F(b) - F(a)\, qui ne dépend pas du choix de la primitive de f\, , puisque les primitives de f\, sur l’intervalle I\, diffèrent d’une fonction constante. Nous notons ce nombre : :\int_a^b f(t) dt\, qui se lit « intégrale de a\, à b\, de f\, », et nous pouvons aussi le noter :\left_a^b\, qui se lit « F\, . pris entre a\, . et b\, . » Dans la notation avec le symbole ?, t\, joue le rôle d’une variable muette, et nous avons ::\int_a^b f(t) dt=\int_a^b f(x) dx=\ldots\, , de plus le nombre représenté par cette intégrale ne dépend pas de t\, . Remarquons dans le cas où f\, est continue sur I\, , que l’application G\, définie sur I\, : :G:x\mapsto\int_a^x f(t) dt=F(x)-F(a)\, n’est autre que la primitive de f\, qui s’annule en a\, et cette fonction G\, est donc la seule fonction dérivable sur I\, telle G'=f\, et G(a) = 0\, . Nous avons donc :\int_a^a f(t) dt=F(a)-F(a)=0\,

Propriétés de l’intégrale

Linéarité de l'intégrale Si f\, et g\, sont deux fonctions définies sur un intervalle I\, et admettant des primitives sur I\, , alors la fonction f+g\, admet aussi des primitives sur I\, et pour tout a\, et tout b\, de I\, , on a : :\int_a^b (f(t)+g(t)) dt=\int_a^b f(t) dt +\int_a^b g(t) dt \, De plus, si \lambda\, est un réel quelconque alors la fonction \lambda\, f\, admet des primitives sur I\, et : :\int_a^b \lambda f(t) dt=\lambda\int_a^b f(t) dt\, Relation de Chasles Soient a\, et b\, deux réels de l’intervalle I\, . Si f\, une fonction définie sur I\, et admettant des primitives sur I\, , alors pour tous a\, , b\, et c\, dans I\, :\int_a^c f(x) dx= \int_a^b f(x) dx+ \int_b^c f(x) dx\, (relation de Chasles) En effet si F\, est une primitive de f\, sur I\, alors : : F(b) - F(a) = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c))\, . En prenant a = b\, dans la relation de Chasles, nous obtenons : :\int_a^c f(x) dx=-\int_c^a f(x) dx\, en effet :0=\int_a^a f(x) dx= \int_a^c f(x) dx+ \int_c^a f(x) dx\, Positivité de l’intégrale Soit f\, une fonction définie sur l'intervalle I\, qui admet des primitives sur I\, , et si a\, et b\, sont deux réels dans I\, tels que a < b\, . Si pour tout réel x\, de \left \, , f(x) \geq 0\, alors :\int_a^b f(x) dx\geq 0\, En effet sous cette condition, toute primitive de f\, sur l’intervalle I\, est croissante. Conséquences : Croissance de l’intégrale Si f\, et g\, admettent des primitives sur I\, et si pour tout x\, dans \left\, , f(x) \leq g(x)\, alors :\int_a^b f(x) dx\leq \int_a^b g(x) dx\, (il suffit de poser h=g\ - f\, et d'utiliser la positivité et la linéarité de l’intégrale) Inégalité de la moyenne S’il existe m\, et M\, des réels tels que pour tout x\, dans \left\, , m \leq f(x) \leq M\, , alors :m(b-a)\leq \int_a^b f(x) dx\leq M(b-a)\, S’il existe un réel M\, tel que pour tout x\, dans \left\, , \left|f(x)\right| \leq M\, , alors :\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leq M(b - a)\, S’il existe un réel M\, tel que pour tout x\, dans I\, , \left |f(x)\right| \leq M\, , alors pour tout a\, et tout b\, dans I\, , :\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leq M|b - a|\, Forme simple du premier théorème de la moyenne Si f\, est continue sur I\, , alors pour tout a\, et tout b\, dans I\, , il existe un réel c\, compris entre a\, et b\, tel que : :\int_a^b f(x)dx=f(c)(b - a)\, Valeur moyenne d'une fonction Si f\, admet des primitives sur un intervalle I\, , si a\, et b\, sont dans I\, tels que a\,
Sujets connexes
Calcul infinitésimal   Calcul intégral   Calcul numérique d'une intégrale   Fonction affine par morceaux   Primitive   Relation de Chasles   Règles de Bioche   Table d'intégrales   Table de primitives  
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