Série convergente

Infos
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente. Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach, il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières il existe une large variété de r
Série convergente

En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente. Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach, il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières il existe une large variété de résultats, tous basés sur le principe de comparaison.

Définition et propriétés générales

Les séries considérées sont numériques (à termes réels ou complexes), ou vectorielles, à valeurs dans un espace vectoriel normé. On dit que la série de terme général a_n converge lorsque la suite (A_n)_n\in\mathbb des sommes partielles converge, où pour tout entier naturel n, :A_n=\sum_^n a_k Dans ce cas la somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles :\sum_^+\infty a_k = \lim_n\to +\infty A_n Si on modifie un nombre fini de termes d'une série, alors on ne change pas sa nature (convergence ou divergence). Bien sûr, si la série est convergente, changer ses premiers termes modifie sa somme.

Condition nécessaire, divergence grossière

Si la série \sum_n\in\mathbb a_n est convergente, alors la suite (a_n)_n\in\mathbb\, converge vers 0 puisque :\forall n \geq 1, \qquad a_n=A_n-A_ Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente. :Exemple : \sum_n\in\mathbb (-1)^n est une série grossièrement divergente En revanche, pour \sum_n\in\mathbb^\frac\ln n, bien que le terme général tende vers zéro, on ne peut pas trancher sans autre théorème. Par un critère de comparaison qui sera détaillé ci-dessous, on peut montrer que c'est une série divergente (cas particulier de série de Bertrand). Ce qui montre qu'il n'y a pas équivalence dans le théorème : il existe des séries divergentes, non grossièrement divergentes.

Convergence absolue

La convergence absolue fournit une condition suffisante très fréquemment utilisée de convergence pour les séries numériques. On dit que la série \sum a_n à termes réels ou complexes est absolument convergente lorsque la série de terme général |a_n| (valeur absolue d'un réel ou module d'un nombre complexe) est convergente. Et dans ce cas, la série \sum a_n elle-même converge. Plus généralement, si \sum a_n est une série à termes dans un espace vectoriel normé complet, on dit qu'elle est absolument convergente lorsque la série de terme général \|a_n\| est convergente. Et dans ce cas, la série \sum a_n elle-même converge. Étudier la convergence absolue fournit ainsi une condition suffisante agréable, vu qu'on est ramené à l'étude de séries à termes positifs, pour lesquels existent de nombreux résultats spécifiques.

Séries de réels positifs

Si tous les termes a_n sont des réels positifs, la série \sum a_n est dite à termes positifs. Pour une telle série, la suite des sommes partielles (A_n)\, est croissante. Elle est alors soit convergente, soit divergente de limite infinie.

Principe général : règles de comparaison

Il est possible d'énoncer une règle de comparaison entre deux séries à termes positifs sur laquelle se basent les autres règles d'étude. Si les séries ont des terme généraux a_n et b_n positifs, avec en outre pour tout n, a_n\, \le b_n,
- si la série de terme général b_n est convergente, la série de terme général a_n converge ;
- si la série de terme général a_n est divergente, celle de terme général b_n diverge aussi. Bien sûr effectuer la comparaison à partir d'un certain rang suffit. On peut utiliser les relations de comparaison classiques entre suites (avec les notations de Landau) : si les termes généraux a_n et b_n sont positifs,
-si a_n\sim b_n alors les séries \sum a_n et \sum b_n sont de même nature (règle des équivalents)
- si la suite a_n est dominée par b_n (a_n=O(b_n)) et si \sum b_n converge, alors \sum a_n aussi
- le même résultat vaut pour la négligeabilité a_n=o(b_n) Ces critères ne peuvent être appliqués qu'à des séries à termes positifs. Par exemple les séries de terme général :u_n = \frac\sqrt n \qquad v_n = \frac\sqrt n +\frac1n\sim u_n sont, la première, convergente, et la seconde divergente.

Règles de convergence pour les séries à termes positifs

Chacune de ces règles utilise le principe de comparaison précédent et est détailléé dans l'article correspondant.
-Règle de d'Alembert Soit \sum u_n une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport \frac tend vers une limite L . Dans ces conditions la série : converge si L < 1\, ; diverge si L > 1\, ; si L = 1\, on ne peut pas conclure. Il existe une règle de Raabe-Duhamel pour pousser l'étude plus loin dans le cas douteux (L=1).
-Règle de Cauchy Si les termes a_n\, sont strictement positifs et s'il existe une constante C < 1\, telle que (a_n)^\frac \le C , alors \sum a_n est convergente.
-Règle de comparaison série-intégrale Si f\, est une fonction positive décroissante continue sur l'intervalle [1, \infty[, alors la série \sum f(n) et l'intégrale \int_^\infty f(x)\, dx sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.

Autres méthodes

Critère de Cauchy

Règle de Leibniz pour les séries alternées

Théorème d'Abel

Soit \sum x_n une série complexe où \forall n \in \N, x_n = \alpha_n u_n tels que :
- La suite (\alpha_n)_n\in\N est réelle, décroissante et tend vers 0.
- \exists M\in\R tel que \forall n \in \N, \left| \sum_^n u_k \right| \le M. Alors \sum x_u est convergente. Convergente de:Konvergenzkriterium en:Convergent series
Sujets connexes
Comparaison série-intégrale   Convergence absolue   Espace de Banach   Espace vectoriel normé   Fonction monotone   Intervalle (mathématiques)   Limite   Limite de suite   Mathématiques   Module d'un nombre complexe   Règle de Cauchy   Règle de Raabe-Duhamel   Règle de d'Alembert   Suite (mathématiques)   Série (mathématiques)   Série de Bertrand   Valeur absolue  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^