Fonctions de Leibniz

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En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement liées à la notion de barycentre qui permet d'en donner une forme simplifiée.
Fonctions de Leibniz

En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement liées à la notion de barycentre qui permet d'en donner une forme simplifiée.

Fonction vectorielle de Leibniz

On se place dans un espace affine E associé à un espace vectoriel V. Soient (A_i)_i=1 \cdots n une famille de n points et (a_i)_i=1 \cdots n une famille de n scalaires, on appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système \left\\left(A_i, a_i\right)_i=1 \cdots n\right \, l'application de E dans V qui, au point M associe le vecteur \vec f(M) = \sum_^n a_i \overrightarrow Si la somme des coefficients \sum_^n a_i est nulle, cette fonction est constante. Si un des coefficients est non nul (par exemple a_1), cette constante est égale à a_1\overrightarrow où G_1 est le barycentre du système \left\\left(A_i, a_i\right)_i=2 \cdots n\right \ Si la somme des coefficients \sum_^n a_i est non nulle, cette fonction se simplifie en : \vec f(M) = \left(\sum_^n a_i\right)\overrightarrow Cette propriété permet de réduire une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs en un seul vecteur grâce à un barycentre. Elle permet aussi de donner les coordonnées du barycentre quand l'espace est de dimension finie. En effet \overrightarrow = \frac\sum_^n a_i\vec f(O) = \frac\sum_^n a_i \sum_^n a_i \overrightarrow. Ce qui se traduit en terme de coordonnées par : x_ = \frac\sum_^n a_i \sum_^n a_i x_

Fonction scalaire de Leibniz

On se place dans un espace affine euclidien sur un corps \mathbb K. Soient (A_i)_i=1 \cdots n une famille de n points et (a_i)_i=1 \cdots n une famille de n scalaires, on appelle fonction scalaire de Leibniz associée au système \left\\left(A_i, a_i\right)_i=1 \cdots n\right \, l'application de E dans \mathbb K qui, au point M associe le scalaire f(M) = \sum_^n a_i MA_i^2 Si la somme des coefficients est nulle, cette fonction se simplifie en : f(M) = f(O) + 2\overrightarrow\cdot \vec u où \vec u est la constante égale à la fonction vectorielle de Leibniz associée au système et où O est un point arbitrairement fixé. Si la somme des coefficients est non nulle, cette fonction se simplifie en : f(M) = f(G) + \left(\sum_^n a_i\right) MG^2 où G est le barycentre du système \left\\left(A_i, a_i\right)_i=1 \cdots n\right \ Cette réduction permet de résoudre plus simplement des problèmes de lieux de points (voir théorème de Leibniz) Exemple : en dimension deux, l'ensemble des points M tels que f(M) = k est
- dans le cas où la somme des coefficients est nulle
- une droite orthogonale à \vec u si \vec u est non nul
- tout le plan ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k) si \vec u est nul
- dans le cas où la somme des coefficients est non nulle
- un cercle de centre G, le point G ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k)

Voir aussi

- Théorème de Leibniz
- Barycentre (géométrie affine) Catégorie : Géométrie affine catégorie : Géométrie euclidienne Catégorie:Leibniz
Sujets connexes
Barycentre (géométrie affine)   Combinaison linéaire   Espace euclidien   Géométrie affine   Géométrie euclidienne   Théorème de Leibniz  
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