Racine de nombre complexe

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On définit comme racine carrée d'un complexe z \in \mathbb tout nombre Z \in \mathbb tel que : : Z^2 = z~
Racine de nombre complexe

On définit comme racine carrée d'un complexe z \in \mathbb tout nombre Z \in \mathbb tel que : : Z^2 = z~

Racines carrées d'un nombre complexe

Cette notion n'est à surtout pas confondre avec la racine carrée dans \mathbb_ qui est unique. Pour cela on déconseille la forme \sqrt (car il n'y a pas, a priori, de relation d'ordre pour les nombres complexes). On définit donc comme racine carrée d'un complexe z \in \mathbb tout nombre Z \in \mathbb tel que : : Z^2 = z.

Racines n-ième d'un complexe

La notion de racine n-ième est définie de manière analogue. On définit comme racine n-ième d'un complexe z \in \mathbb tout nombre Z \in \mathbb tel que: : Z^n = z ~ On notera que puisque la notion de puissance est multiplicative, il est souvent plus pratique d'utiliser la forme exponentielle des complexes lors des calculs.

Méthode de calcul de racines carrées d'un nombre complexe

Soit \ z^2 = Z avec \ z=x+iy (z est la racine carré de Z), on pose alors le système suivant: \beginz^2=Z\\|z|^2=|Z|\end Sig: \begin(x+iy)^2=a+ib\\(x^2+y^2)=\sqrt\end Sig: \beginx^2-y^2+i2xy=a+ib\\x^2+y^2=\sqrt\end Par identification de la partie réelle et imaginaire, on obtient : \beginx^2-y^2=a\\2xy=b\\x^2+y^2=\sqrt\end On en déduit alors x^2 et y^2 en ajoutant et soustrayant les première et troisième équations. Le signe du produit xy est celui de b, d'où l'expression des deux couples de solutions pour x et y. Catégorie:Analyse complexe
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