Racine carrée de deux

Infos
L'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut √2. La racine carrée de deux, notée √2 ou 2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 1, 4142. √2 est défini comme étant le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. Il est possible que √2 ait été le premier nombre reconnu comme irrationnel, c'est-à-dire ne pouvant être exprimé
Racine carrée de deux

L'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut √2. La racine carrée de deux, notée √2 ou 2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 1, 4142. √2 est défini comme étant le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. Il est possible que √2 ait été le premier nombre reconnu comme irrationnel, c'est-à-dire ne pouvant être exprimé comme une fraction de nombres entiers. La découverte des nombres irrationnels est généralement attribuée à l'école de Pythagore, dont l'un des membres aurait produit la toute première démonstration d'irrationalité. Sans pouvoir affirmer avec certitude que celle-ci concernait √2, le fait que les propriétés de ce nombre soient connues et étudiées depuis très longtemps, et aussi qu'il est particulièrement simple d'en démontrer l'irrationalité, est un argument pour faire de √2 « le premier irrationnel ». :Le nombre intervient dans des applications de la vie courante :
-les feuilles de papier européennes au standard (format A4) ont une proportion longueur/largeur égale à √2 ;
-en musique, le rapport des fréquences de la quarte augmentée de la gamme tempérée vaut √2 ;
-en électricité, la tension maximale du courant alternatif domestique vaut √2 de la tension efficace indiquée (généralement 110 ou 220 V) ;
-en photographie, la suite des valeurs d'ouverture du diaphragme sont les valeurs approchées d'une suite géométrique de raison √2.

Éléments introductifs

Définition, notation et prononciation

-√2 se prononce racine carrée de 2 ; se prononçait aussi "radical de deux".
-√2 est le nombre réel positifDans R : (-√2)² = 2. qui multiplié par lui même donne 2. Autrement dit, c'est le nombre positif x tel que x²=2, soit : (√2)²=√2×√2=2.
-√2 se note également 2 : deux puissance un demi. (notation Unicode : 2½)

Premières propriétés

Si les mécanismesIl s'agit du produit, du nombre deux, et du concept d'égalité entrant en jeu dans la définition de la racine carrée de deux peuvent être compris très tôt, l'évaluation de la solution est bien plus complexe. La recherche d'une valeur de √2 sous forme de fraction (ratio) est vaine. Ce constat est à l'origine d'un des problèmes fondamentaux des mathématiques. √2 est un nombre irrationnel. C'est en outre le premier nombre dont l'irrationalité a été prouvée.

Existence et construction

Quelques constructions classiques de √2.
- Le Théorème de Pythagore énonce que dans un triangle ABC rectangle en C, AB²=AC²+BC². Si ce triangle est un carré coupé en diagonale, la mesure de ses côtés peut être ramenée à l'unité, AC=BC=1, d'où AB²=1+1=2. Par conséquent AB=√2.
- Dans un carré, la diagonale est multiple de √2 par rapport aux côtés.
- On peut construire un carré de surface 2. L'aire d'un carré est égale au produit de ses côtés (c × c = c²). La racine de sa surface du carré est son côté et par construction, celui-ci est égal à √2. c² = 2 donne c = √2 ~ 1, 4142. Cette construction est à l'origine de l'expression racine carrée.
- La duplication du carré est une construction géométrique qui vérifie l'existence du nombre √2.

Étymologie

L'expression racine carrée est issue de la notation géométrique européenne qui prévalait avant la notation algébrique, et plus particulièrement de l'une des constructions de √2 présentée au paragraphe précédent. Les problèmes mathématiques ont souvent été présentés sous forme géométrique avant d'être ramenés à des expressions algébriques.

Valeur approchée

√2 vaut approximativement 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 7 Le calcul d'une valeur approchante de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les algorithmes de calculs d'extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d'optimiser ces algorithmes : réduire les temps de calcul et la consommation de mémoireLa plupart des logiciels mathématiques, sur ordinateurs ou sur machines à calculer, utilisent des approximations pré-établies de cette constante - au moins jusqu’à un certain rang. afin d'utiliser ces outils dans des domaines aussi variés que l'animation vectorielle, la musique ou les statistiques√2 intervient dans la loi normale .

√2 dans la vie courante

Format de papier

Le rapport longueur/largeur d'une feuille de format A est une bonne approximation de √2. Les formats de papier A, B et C de la norme ISO 216, d'emploi courant hors de l'Amérique du Nord, ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur, produit deux feuilles homothétiques à l'original ; c'est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L'aire étant diminuée d'un facteur 2, ceci n'est possible que si ce rapport vaut √2 ; dans la pratique, les dimensions sont arrondies. Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 en fonction de √2. :: Dans la pratique les dimensions sont arrondies. Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d'un facteur √√2 (~ 1, 19) et √√√2 (~ 1, 09). Les facteurs d'agrandissement de 200%, 141%, 71%, 50% proposés par les photocopieuses sont des approximations de (√2) qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de 2 pages par feuille.

Musique

En 1691, l'Allemand Andreas Werckmeister eut l'idée de créer une gamme à intervalles égaux, connue sous le nom gamme tempérée. Cette gamme résolvait quelques problèmes de la gamme pythagoricienne, en particulier la fausseté flagrante de certains intervalles (quinte du loup, tierce) ; de fait un tempérament proche du tempérament égal devait être utilisé sur les instruments à clavier et à frettes vers le . La gamme se construit de cette manière : le rapport de fréquences entre les notes extrêmes de l'octave est 2 ; et la gamme est divisée en douze-demi tons de rapports de fréquence égaux f. Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la plus basse est donf f^, qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le demi-ton a ainsi un rapport f = 2^\frac. Dans ce système, la quarte augmentée (do–fa
-) et la quinte diminuée (do-sol♭), égaux et valant six demi-tons, ont un rapport de fréquences de \sqrt. ::

Électricité

Tension sinusoïdale : valeur efficace. En électricité, la tension efficace Ueff d'un courant alternatif sinusoïdal — par exemple les 110 V ou 220 V du courant domestique — est reliée à l'amplitude de la tension Umax par :Umax = Ueff√2, noté aussi Û=U√2, soit, dans la plupart des applications courantes : :Ueff ≅ 0, 7 Umax. Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d'une onde sinusoïdale.

Photographie

Diaphragme contrôlant l'ouverture d'un appareil photo. Les ouvertures des appareils photographiques suivent la séquence normalisée f/1, 4, f/2 f/2, 8 f/4 f/5, 6 f/8 f/11 f/16 f/22, f/32, etc. Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de √2, qui a été choisie de sorte à ce que le rapport de flux lumineux soit dans un rapport 2 (flux = diamètre²) . En diminuant d'un « cran » l'ouverture on double le temps de pose nécessaire ou diminue d'un facteur 2 la sensibilité de la pellicule requise. , Matthew Cole, 2005 (visté le 29 août 2006) Dans la pratique, l'ouverture indiquée est un arrondi ; l'ouverture réelle peut coller au plus proche de \sqrt . Il existe des subdivisions sur les appareils modernes, souvent dans des rapports \sqrt\sqrt ou \sqrt^\frac. ::

Histoire

Babylone

Schéma de la tablette YBC 7289. La première représentation connue de ce nombre date du début du . Il apparaît sur la tablette babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100. Il s'agit du tracé d'un carré avec ses diagonales, avec les mesures des segments et accompagné d'une valeur approchée de √2 écrite en système sexagésimal cunéiforme : :, ce qui signifie très probablement 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ — l'absence de zéro et de virgule dans la numération babylonienne rend la notation positionnelle ambiguë — soit environ 1, 41421296. Il s'agit d'une valeur approchée au six dix-millionièmes de \sqrt, ce qui indique qu'elle avait été obtenue de manière algorithmique, car une telle précision de mesure leur était hors de portée. On sait d'ailleurs que les Babyloniens savaient extraire des racines carrées d'entiers non carrés en exploitant des formules du type de la méthode de Héron. Eleanor Robson & David Fowler, , Historia Mathematica, 25, pp. 366-378, 1998. (Ces formules sont un cas particulier de la méthode de Newton).

Grèce antique

Les pythagoriciens attribuèrent une grande importance à la notion de grandeurs commensurables et s'y tinrent longtemps comme à un principe philosophique. Ils ne pouvaient concevoir qu'un nombre ne soit pas un rapport d'entiers, le rapportant le plus souvent à des figures géométriques. Mais d'après Aristote , ce sont les pythagoriciens eux-mêmes qui démontrèrent pour la première fois que \sqrt est irrationnel, à la fin du , à savoir qu'il ne peut s'écrire comme le rapport de deux grandeurs commensurables. Cette démonstration de l'incommensurabilité de \sqrt, supposée pour une grande part géométrique, est souvent attribuée à Pythagore, mais elle aurait en fait été rédigée par l'un de ses disciples. Une légende rapporte que, parce que contraire aux pensées de Pythagore sur le caractère absolu des nombres, la découverte d'un nombre irrationnel jeta un trouble au sein de l'école et la démonstration fut dissimulée. Une autre légende mise en doute par Proclus raconte qu'Hippase de Métaponte fut jeté à la mer et mourut noyé pour avoir révélé l'existence de cette démonstration. Beaucoup de doutes subsistent sur ces récits. D'ailleurs certains émettent l'hypothèse qu'il ne s'agissait pas de \sqrt mais plutôt du nombre d'or (1+\sqrt)/2. Platon rapporte dans son Théétète, que Théodore utilisait une méthode générale pour démontrer l'incommensurabilité à un des racines carrées de 3, 5, ... 17 mais sans nous la révéler. Ainsi l'incommensurabilité de \sqrt à 1, pourrait bien avoir tout de même été établie par les pythagoriciens. La plus ancienne preuve de l'incommensurabilité de \sqrt\, avec 1 qui ait traversé le temps, figure dans les textes d'Aristote (Aristote, Analytiques Postérieurs I), qui affirme que si la diagonale du carré était commensurable avec le côté, alors un même nombre serait pair et impair. Une autre démonstration se trouve dans le livre 10 des Éléments d'Euclide et repose sur la méthode d'antiphérèse, aussi appelée méthode de soustraction réciproque. On suppose que l'algorithme de Théon de Smyrne, inspiré de la méthode d'antiphérèse, aurait été utilisé à l'époque pour calculer des valeurs approchées de \sqrt. Il permet, en considérant les rapports de termes des deux suites introduites par Théon et en utilisant le principe de l'encadrement, d'obtenir des valeurs approchées de \sqrt comme 3/2, 7/5, ou 17/12. Précisons qu'il faudra attendre Diophante pour que \sqrt et les autres irrationnels, ainsi que les rationnels soient considérés comme des nombres à part entière, algébriquement parlant.

Monde indien

On peut trouver dans le Śulbasutra de Baudhayana une approximation de \sqrt\, antérieure au Voir Quelques aspects arithmétiques du commentaire de Dvarakanatha sur la géométrie du Sulbasutra, Jean-Michel Delire, Oriens-Occidens, n°4 (2002) ; , avid W. Henderson ; , 5.2 .

Monde arabo-musulman

Le monde arabo-musulman connaissait l'irrationalité √2, au moins par traduction des textes grecs. Les travaux de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi introduisent la notation algébrique la généralise les problèmes et équations du second ordre . Un de ses successeurs, Abu Kamil systématise la manipulation des irrationnels. Ces deux mathématiciens développent et perfectionnent les algorithmes d'approximation des irrationnels, dont √2.

Occident

Géométrie

Duplication du carré

En rouge le carré initial En pointillé, les tracés de Socrate En bleu, la réponse de l'esclave \sqrt intervient dans la duplication du carré. C’est-à-dire la résolution du problème : : Un carré étant donné, comment construire un carré dont la surface est double ? Ce problème, dont la résolution géométrique est relativement simple, offre un double intérêt historique : d'une part, il a servi de base à une démarche pédagogique célèbre racontée dans le Ménon de Platon (vers 400 av. J.-C.). D'autre part, il a poussé les mathématiciens à s'intéresser à un problème qui semblait similaire mais qui se révéla insoluble dans le cadre de la construction à la règle et au compas : la duplication du cube. Dans le Ménon de Platon, Socrate cherche à prouver à Ménon que la vertu ne s'enseigne pas mais est intrinsèque. Il pose à un esclave le problème de la duplication du carré et va l'amener à trouver « seul » la solution du problème. La démarche de l'esclave suit une voie assez classique. Il propose de multiplier le côté par deux. Socrate l'amène à trouver qu'alors l'aire est multipliée par 4. L'esclave propose ensuite de considérer un carré dont le côté est la moyenne arithmétique du côté initial et de son double. Socrate l'amène à trouver que l'aire vaut alors les 9/4 de l'aire initiale. L'esclave arrive à une impasse : il ne peut trouver un nombre solution du problème. Socrate le guide alors vers la voie géométrique, il reproduit 3 carrés semblables au premier et trace une diagonale. L'esclave poursuit le raisonnement et construit enfin la solution au problème. D'après Socrate, l'esclave a retrouvé en lui une vérité qu'il possédait ; la démarche employée ressortit à la maïeutique. On peut donc affirmer : :Le rapport entre le côté et la diagonale d'un carré est \sqrt Autrement dit, si d est la longueur de la diagonale et c celle du côté : d = c \sqrt

Triangle rectangle isocèle

Triangle rectangle isocèle de côté 1. Dans un triangle rectangle, si les deux côtés adjacents à l'angle droit ont une longueur égale à l'unité, l'hypoténuse a pour longueur de √2. Ce résultat est un cas particulier du théorème de Pythagore. La théorème de Pythagore affirme en effet que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse — côté opposé à l'angle droit — est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l'angle droit. Sur la figure ci-contre, cela se traduit par : a^2 + b^2 = c^2 Sur le triangle ci-contre cela donne ainsi : 1^2 + 1^2 = c^2. Cela veut dire que le carré de l'hypoténuse c^2 vaut 2. On en déduit que l'hypoténuse elle-même est de longueur : c = \sqrt.

Trigonométrie

√2/2 = sin 45° = cos 45° La moitié de √2 est une quantité commune en géométrie et en trigonométrie, car le vecteur unitaire qui fait un angle de 45° avec l'axe des abscisses, dans un repère orthonormé, a pour coordonnées : :\left( \frac\sqrt, \frac\sqrt \right) Ce nombre satisfait cette relation : :√2/2 = 1/√2 = cos 45° = sin 45°

Construction de √2 à la règle et au compas

Construction à la règle et au compas. Comme toutes les racines carrées de nombre entier, \sqrt est constructible à la règle et au compas ; a contrario, ce n'est pas le cas de la racine cubique de 2, par exemple. Étant donné un segment AB de longueur unité, voici les différentes étapes pour construire un segment de longueur \sqrt avec une règle non graduée et un compas :
- Tracer le symétrique B' de B par rapport à A
-
- Tracer le cercle C1 de centre A et de rayon AB, il coupe la demi-droite ]BA) en B'
- Tracer la médiatrice (AH) de
-
- Tracer le cercle C2 de centre B et de rayon r > AB
-
- Tracer le cercle C3 de centre B' et de rayon r, il coupe C2 en deux points, H et H'
-
- Tracer le segment il intersecte C1 en un point C. À cette étape le segment de longueur \sqrt est construit.

Construction de √2 au compas seul

Construction au compas seul Comme tout nombre constructible à la règle et au compas, \sqrt est constructible au compas seul. Les étapes d'une construction possible sont
- Tracer quatre sommets consécutifs B, G, H, I de l'hexagone régulier de centre A et de sommet B ; ceci permet de construire √3, l'unité étant la longueur AB.
-
- Tracer le cercle C1 de centre A et de rayon AB ;
-
- Tracer le cercle C2 de centre B et de rayon AB, il coupe C1 en deux points, soit G l'un d'entre eux ;
-
- Tracer le cercle C3 de centre G et de rayon AB, il coupe C1 en B et H ;
-
- Tracer le cercle C4 de centre H et de rayon AB, il coupe C1 en G et I ;
- Construire un triangle rectangle ABC d'hypoténuse AC = √3 (AB = 1) ; C est l'un des deux points tel que IC = IG et BC = BH (sachant que IG = BH = √3 > IB/2 = 1).
-
- Tracer le cercle C5 de centre I et de rayon IG ;
-
- Tracer le cercle C6 de centre B et de rayon BH (= IG), il coupe C5 en C. À cette étape le segment de longueur \sqrt est construit. Éléments de démonstration : IC = IG = √3, car d'après le théorème de Pythagore, les hauteurs en I et G des triangle équilatéraux de côté 1, IHA et HAG, qui sont portées par la médiatrice de (H, A), ont pour longueur √3/2. Par construction (A et C sur la médiatrice de BI) (AC) est perpendiculaire à (AI) et le théorème de Pythagore dans IAC donne AC² = 2..

Propriétés mathématiques principales

Irrationalité

\sqrt est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de l'écrire \sqrt = \frac, c'est-à-dire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers p et q. Anciennement, on parlait d'incommensurabilité de \scriptstyle\sqrt et 1 : il n'existe pas d'unité u permettant de mesurer à la fois le côté d'un carré et sa diagonale ; ce qui se traduit mathématiquement par la proposition suivante : il n'existe pas p et q entiers tels que : ::\sqrt = pu \text1 = qu. Ces deux formulations sont équivalentes. Il existe de multiples démonstrations de l'irrationalité ; de part leur simplicité, elles sont souvent utilisées à des fins pédagogiques comme introduction à la théorie des nombres. Elles procèdent le plus souvent par l'absurde. L'incohérence typique est l'existence d'une descente infinie d'entiers naturels ou la simplification d'une fraction irréductible. La forme de la preuve peut utiliser des arguments purement arithmétiques ou utiliser une représentation géométrique. Triangle isocèle rectangle à côtés entiers si \sqrt est rationnel : une étape de descente infinie.

Démonstration géométrique

On suppose \textstyle\sqrt = \frac avec p et q entiers. On construit un triangle AOB rectangle isocèle en O de côté OA = OB = p, son hypoténuse est ainsi AB = \scriptstyleOA\sqrt = q. On construit un cercle de centre A et de rayon AO ; il intersecte l'hypoténuse en B'. On construit un cercle de centre A et de rayon AB, il intersecte On peut écrire les puissance de la proportion d'argent ainsi : : \Delta^ = u_\Delta + u_\, où la suite (u'n) est définie par récurrence : : u_ = 2 u_ + u_n\, Note : il y a une ressemblance avec les propriétés de la proportion dorée, dont les puissances successives s'expriment en fonction de φ et 1/φ et d'une suite récurrente double.

Développement en fraction continue

√2 est relié à un certain nombre de développements en fractions continues périodiques, par propriété des irrationnels quadratiques. √2 est relié au développement en fraction continue suivant :a\sqrt - b = \frac12b + \frac12b + \frac12b + \cdots\, pour 2a² − b² = 1, (a, b) entiers strictement positifs. On notera ce développement de manière plus concise : :a√2 − b = On en tire les valeurs suivantes de √2 : : √2 = . : √2 = 1/5 × : √2 = 1/29 × Plus généralement, \sqrt se relie à la fraction continue généralisée suivante : :a\sqrt - b = \frac k2b + \frac k2b + \frac k2b + \cdots\, notée sous forme plus concise : a√2 − b = avec k = 2a² − b², et (a, b) entiers strictement positifs. On en déduit les quelques développements de \sqrt\, suivants : :√2 = 1/2 × :√2 = 1/12 × :√2 = 1/70 × Éléments de démonstration : soit la suite (u'n) définie par la relation de récurrence un + 1 = −k/(2b + un) et εn = |u'n − (a√2 − b)|. Alors on peut montrer que εn + 1 < n, avec 1/|1 + 2b/(a√2 − b)| < K < 1 dans un voisinage de a√2 − b.

Développements en série et produit infini

Produits infinis

L'identité cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2 et la représentation en produit infini du sinus et du cosinus mènent aux développements suivants :\sqrt 2 = 2\prod_^\infty \frac = 2 \left(1-\frac\right) \left(1-\frac\right) \left(1-\frac\right) \cdots :\sqrt = \prod_^\infty \frac = \left(\frac2 \cdot 21 \cdot 3\right) \left(\frac6 \cdot 65 \cdot 7\right) \left(\frac10 \cdot 109 \cdot 11\right) \left(\frac14 \cdot 1413 \cdot 15\right) \cdots Le dernier produit peut s'écrire de manière équivalente : :\sqrt = \prod_^\infty \left(1+\frac\right) \left(1-\frac\right) = \left(1+\frac\right) \left(1-\frac\right) \left(1+\frac\right) \left(1-\frac\right) \cdots.

Séries

Le nombre peut aussi être évalué sous forme de série par le développement de Taylor d'une fonction trigonométrique en \left(\pi/\right) : :\frac\sqrt = \sum_^\infty \frac(-1)^k \left(\frac\pi4\right)^. :\frac\sqrt = \sum_^\infty \frac(-1)^k \left(\frac\pi4\right)^. On peut aussi utiliser la fonction \sqrt\, en 1: :\sqrt = \sum_^\infty (-1)^ \frac\prod_^ (2n-1)\prod_^ 2n = 1 + \frac - \frac2\cdot4 + \frac1\cdot32\cdot4\cdot6 - \frac1\cdot3\cdot52\cdot4\cdot6\cdot8 + \cdots. La convergence de la dernière série peut être accélérée par le biais d'une transformation d'Euler pour donner : :\sqrt = \sum_^\infty \frac = \frac +\frac + \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots.

Méthodes numériques d'approximation

Les méthodes numériques d'approximation présentées ci-dessous sont destinées au calcul d'un nombre important de décimales. Elles se basent généralement sur une suite convergente de nombres rationnels ; ainsi l'itération s'affranchit du coût de calcul sur des nombres à virgule flottante — dont il faudrait en plus connaître la précision a priori. Les meilleures approximations par une suite rationnelle pn/q'n donnent une erreur en 1/q'n², une propriété de l'approximation diophantienne des irrationnels quadratiques.

Méthodes à convergence linéaire

Méthode de Théon de Smyrne

On doit à Théon de Smyrne ces deux suites (p'n) et (q'n) définies par récurrence : : pn + 1 = pn + 2q'n,     p0 = 1 ; : qn + 1 = pn + qn,     q0 = 1. Ces suites sont à valeur entière strictement positive, donc strictement croissantes par récurrence, et vérifient :p'n² − 2q'n² = (−1)n(p0² − 2q0²) de sorte que pn/q'n tend vers √2. On ne sait pas si l'intention de Théon de Smyrne était de calculer une valeur approchée de √2.

Solutions de l'équation diophantienne a²− 2b² = k

Les solutions entières de l'équation a² − 2b² = k sont générées par récurrence :a'm + 1 = 3a'm + 4b'm :b'm + 1 = 2a'm + 3b'm à partir des valeurs initiales (a0, b0) = (1, 1) pour k = −1 et (3, 2) pour k = 1. Cette méthode est déduite de celle de Théon : chaque itération de la présente correspond à deux itérations de celle-là. Ainsi, an/b'n tend linéairement vers √2. Les premières solutions sont :
- k = −1 : (1, 1), (7, 5), (41, 29), (239, 169), (1393, 985),
- k = 1 : (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378).

Méthode de Théon généralisée

On se donne (a, b), obtenues par la méthode de Théon, qui sont donc solutions de l'une des deux équations diophantiennes précédente 2b² = - k = K, avec k = ±1 et K> 1. On peut alors écrire :√2 = a/b √ Les suites pn et qn définies par : pn + 1 = (2K + k)p
'n + 2Kq'n,     p0 = 1 ; : qn + 1 = (2K + 2k)p'n + (2K + k)q'n,     q0 = 1. vérifient :(K + k)p'n + 12 - K qn + 12 = (K + k)p'n2 - K qn2 = … = k, et donc, de la même façon que ci-dessus, la suite pn/q'n converge vers √. De plus, si k = 1, cette suite est croissante donc approche cette valeur par défaut, et si k = -1, elle est décroissante donc approche cette valeur par excès. On peut utiliser cette relation pour estimer l'erreur : :ε'n + 1 ≈ εn (4K + 3k)−2 et c'est une majoration si k= 1. La convergence est donc linéaire : elle fait gagner un nombre à peu près constant de décimales à chaque itération. Cette méthode correspond à une généralisation de la méthode du paragraphe précédent au radical √. Pour K plus grand, la suite qn croit plus rapidement, donc la convergence est accélérée. ::

Développement en fraction continue

Une autre méthode consiste à approcher a√2 − b par sa fraction continuée généralisée pour (a, b) solutions de l'équation diophantienne 2a² = b² + k, avec k = ± 1 : :a√2 − b = . m√2 − n est approximé à l'aide de la suite (p
'n/q'n) déterminée par la relation de récurrence : pn + 1 = qn : qn + 1 = 2bq'n + kpn L'erreur vérifie asymptotiquement :ε'n + 1 < |a√2 − b|/(2b − 1) εn ::

Développement de Taylor

On se donne (a, b) solutions de l'équation diophantienne 2a² = + k = K, avec k = ±1. On peut alors écrire le développement de Taylor de √ :√ = 1 + 1/2 (k/K) + (1×3)/(2­×4) (k/K)² + (1×3×5)/(2×4×6) (k/K)³ + … et utiliser √2 = a/b √ Dans le cas √2 = 7/5 √(50/49), ce développement se simplifie de façon remarquable comme l'a fait remarquer Leonhard Euler en 1755 : :√2 = 7/5 ::

Dichotomie

Il est possible d'approcher √2 par bissection. Cette méthode est de convergence linéaire lente : on gagne trois décimales à chaque dizaine d'itérations.

Méthode à convergence quadratique

La méthode de Newton appliquée à la fonction racine carrée permet de calculer une valeur approchée de √2 de manière itérative avec une convergence quadratique, c'est-à-dire doublant le nombre de décimales à chaque itération. La récurrence a la forme :u
'n + 1 = un/2 + 1/u'n Cet algorithme s'appelle méthode de Héron ou méthode babylonienne car il semble que ce soit celle utilisée par les babyloniens pour trouver des valeurs approchées de racines carrées. . Si l'on s'intéresse aux fractions successives à partir d'une valeur initiale p0 et q0, la récurrence sur le numérateur et le dénominateur sont :p'n + 1 = pn² + 2q'n² :q'n + 1 = 2p'n'q'n ::

Méthodes cubiques

Méthode de Halley

Un exemple de méthode cubique s'obtient par l'itération de Halley. Elle cherche le zéro de f(x) = x² − 2 en utilisant les deux premières dérivées. La solution itérative est :x
'n + 1 = xn × (x'n² + 6)/(3x'n² + 2) soit en posant xn = pn/q'n : :p'n + 1 = pn(p'n² + 6q'n²) :q'n + 1 = qn(3p'n² + 2q'n²) Cette méthode est de convergence cubique : le nombre de décimales exactes triple à chaque itération. ::

Méthode de Householder

L'itération de Householder appliquée à f(x) = 1/x² − 1/√2 donne une suite convergeant vers 1/√2 : :x
'n + 1 = xn + xn/8 × (2x'n² − 1)(6x'n² − 7)

Méthodes d'ordre supérieur

On utilise une méthode de Newton modifiée , Xavier Gourdon & Pascal Sebah, 2001, visité le 24 août 2006 pour trouver le zéro de f(x) = 1/x² − 1/2. Cela donne la suite récurrente : :x'n + 1 = xn + xn/16 × (8h'n + 6h'n² + 5h'n³) avec :hn = 1 − xn²/2 Cette méthode est de convergence quartique, i.e. d'ordre 4 : le nombre de décimales exactes quadruple à chaque itération. :: Il existe des méthodes d'ordre supérieur , Xavier Gourdon & Pascal Sebah, 2001, visité le 24 août 2006, notamment parmi les méthodes de Householder.

Voir aussi

===
Sujets connexes
Abu Kamil   Algorithmique   Algèbre   Amérique du Nord   Andreas Werckmeister   Appareil photographique   Approximation diophantienne   Aristote   Asymptote   Babylone   Base (arithmétique)   Calcul numérique   Carré parfait   Commensurabilité (mathématiques)   Compas (géométrie)   Construction à la règle et au compas   Convergence   Courant alternatif   Cunéiforme   Demi-droite   Duplication du cube   Dérivée   Entier naturel   Euclide   Flux lumineux   Fonction trigonométrique   Format de papier   Fraction   Fraction continue   Fraction irréductible   Fréquence   Gamme musicale   Gamme pythagoricienne   Gamme tempérée   Hippase de Métaponte   Homothétie   Hypoténuse   ISO 216   Intervalle (musique)   Irrationnel quadratique   Itération de Halley   Itération de Householder   Lemme d'Euclide   Leonhard Euler   Loi normale   Loup (musique)   Mathématiques   Maïeutique   Musique   Ménon   Méthode de Héron   Méthode de Newton   Méthode de dichotomie   Nombre algébrique   Nombre carré   Nombre d'or   Nombre irrationnel   Nombre normal   Nombre positif   Nombre rationnel   Nombre réel   Notation positionnelle   Notion de module   Numération babylonienne   Octave (musique)   Onde   Ouverture (photographie)   Pellicule photographique   Platon   Polynôme   Positif   Produit infini   Proportion d'argent   Pythagore   Pédagogie   Quarte   Quinte   Racine carrée   Racine carrée de deux   Racine cubique   Raison d'une suite   Rationnel   Règle (instrument de géométrie)   Segment (mathématiques)   Socrate   Suite (mathématiques)   Suite géométrique   Système décimal   Système sexagésimal   Série (mathématiques)   Tablette   Tension électrique   Théodore de Cyrène   Théon de Smyrne   Théorie des nombres   Théorème de Pythagore   Théorème fondamental de l'arithmétique   Théétète (Platon)   Tierce (musique)   Triangle rectangle   Triton (musique)   Virgule   YBC 7289  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^