Indépendance algébrique

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En algèbre, 'indépendance algébrique' d'un ensemble sur un corps décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.
Indépendance algébrique

En algèbre, 'indépendance algébrique' d'un ensemble sur un corps décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.

Définition

Soit L un corps, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. S est algébriquement indépendant sur K si les éléments de S ne sont racines d'aucun polynôme non trivial à coefficients dans L. En d'autres termes, pour tout suite finie (\alpha_1, \ldots , \alpha_n) d'éléments distincts de S et tout polynôme non-trivial P(x_1, \ldots , x_n) à coefficients dans K : :P(\alpha_1, \dots , \alpha_n) \ne 0. En particulier, un ensemble à un seul élément \ \alpha \ est algébriquement indépendant sur K si et seulement si \alpha est transcendant sur K.

Exemples

Le sous-ensemble \ \sqrt \pi;2\pi +1 \ du corps des nombres réels \mathbb R n'est pas algébriquement indépendant du corps des nombres rationnels \mathbb Q puisque le polynôme P(x_1, x_2)=2x^2_1-x_2+1 n'est pas trivial et à coefficients dans \mathbb Q et P(\sqrt \pi, 2\pi +1)=0. Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement indépendants sur \mathbb Q. On ne sait pas si l'ensemble \ \pi, e \ est algébriquement indépendant sur \mathbb Q. Yu Nesterenko a prouvé en 1996 que \ \pi, e^\pi, \Gamma(1/4) \ l'est. Catégorie:Algèbre en:Algebraic independence es:Independencia algebraica sk:Algebrická nezávislosť zh:代數獨立
Sujets connexes
Algèbre   Corps (mathématiques)   Ensemble   Nombre rationnel   Nombre réel   Polynôme   Racine (mathématiques)   Sous-ensemble   Théorème de Lindemann-Weierstrass  
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