Développement en série de Engel

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Développement en série de Engel

Construction du développement

Soit x_0 \in ]0, 1]. On construit le développement de ce nombre de la manière suivante : \left\\begin a_0 = \left + 1 \\ \end \right. \left\\begin a_1 = \left + 1 \\ \end \right.\qquad ... \qquad \left\\begin a_n = \left + 1 \\ \end \right.. Dans ce cas, le nombre x_0 s'écrit de manière unique sous la forme suivante (dite série de Engel) : x_0 = \frac + \frac + \frac+ ... + \frac + ... où la suite (a_n)_n est une suite croissante d'entiers plus grands que 2.

Propriétés

Soit x_0 \in [0, 1[. Alors x_0 est rationnel si, et seulement si, la suite (a_n)_n \in \mathbb de son développement en série de Engel est constante à partir d'un certain rang.

Exemples

Les nombres e=\sum_^\infty\frac (qui donne immédiatement son développement : a_n=n) et y = \sum_^\infty (avec q \in \mathbb, q \geq 2) sont irrationnels car leurs développements en série de Engel tendent vers \infty.

Bibliographie

- Théorie des nombres, Daniel Duverney Engel Catégorie:Approximation diophantienne en:Engel expansion sl:Englov razvoj zh:Engel展開式
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