Produit infini de Cantor

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Produit infini de Cantor

Construction du produit

Soit x_0 un nombre réel strictement plus grand que 1. On définit les nombres suivants, où \left représente la partie entière de x : a_0 = \left, x_1 = \frac1 + \frac. De ce fait, a_0 + 1 > \frac \geq a_0. Donc, on a x_1 > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir : a_n = \left, x_ = \frac1 + \frac. Ainsi, on a le théorème suivant : \forall x_0 > 1, on peut écrire de manière unique: x_0 = \prod_^\infty\left(1 + \frac\right).

Propriétés

- \forall n, a_n \in \mathbb
- \exist N \in \mathbb, \forall n \geq N, a_n \geq 2
- \forall n, a_ \geq a_n^2
- Soit x_0 > 1. Alors x_0 est un nombre rationnel si, et seulement si, \exist N \in \mathbb tel que la suite (a_n)_n \in \mathbb de son développement en série de Cantor vérifie a_ = a_n^2 pour n \geq N.

Exemples

\sqrt = \prod_^\infty\left(1 + \frac\right), avec a_0 = 2 et a_ = 2a_n^2-1, \sqrt = \prod_^\infty\left(1 + \frac\right), avec a_0 = 3 et a_ = 2a_n^2-1. D'après les propriétés précédentes, on voit donc que \sqrt et \sqrt sont des nombres irrationnels (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer). L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice. Catégorie:Série Catégorie:Georg Cantor
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Nombre   Nombre irrationnel   Nombre rationnel   Nombre réel   Partie entière  
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