Théorème de Stokes

En géométrie différentielle, le théorème de Stokes est un résultat central sur l'intégration de formes différentielles, qui généralise nombre de théorèmes sur l'analyse vectorielle. Après l'énoncé et la démonstration, cet article en propose nombre d'applications : en particulier, il fournit un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs. théorème|Théorème de Stokes|Soit M une variété différentielle orientée de dimension n, et \omega une (n-1)-forme différentielle à support compact sur M de classe C^1. Alors, on a : :\int_M\!\mathrm d\omega=\int_\partial M\!i^
-\omega où d désigne la différentielle extérieure, \partial M le bord de M, muni de l'orientation sortante, et i:\partial M\rightarrow M est l'inclusion canonique. George Stokes William Thomson Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à connaître ce résultat est en réalité William Thomson. Le mathématicien et le physicien entretiennent une correspondance active durant 5 ans de 1847 à 1853. La preuve demande de disposer de la bonne définition d'intégration ; il faut se rendre à l'évidence que l'apparente simplicité de la démonstration actuelle est trompeuse.

Démonstrations

L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle ; et de se ramener à un cas presque évident. Soit \U_i\_I un recouvrement localement fini de M par des domaines de cartes locales \phi_i:U_i\rightarrow \phi_i(U_i)\subset R^n, telles que : :\phi_i(U_i\cap N)=\phi_i(U_i)\cap (R_+\times R^) Introduisons \phi_i une partition de l'unité subordonnée à \U_i\. Comme le support de \omega est fermé, la forme différentielle \omega s'écrit : :\omega=\sum f_\omega où la sommation est à support fini. Posons \beta_i=\phi_i^
-\left, forme différentielle à support compact de M'=R_+\times R^n. \phi_i|_\partial M est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations sortantes. On a donc : :\int_\partial M\!\left=\int_\partial M'\! \beta_i Comme \phi_i^
- commute avec l'opérateur de différentiation d, on a : :\int_M\! \mathrm d\left=\int_\! \mathrm \mathrm d\alpha_i Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier M'=R_+\times R^n. Une (n-1)-forme \omega sur M=R_+\times R^ s'écrit : :\omega=\sum_^n f_i\cdot \mathrm dx_1\wedge\dots\wedge \widehat\mathrm dx_i\wedge \dots \wedge \mathrm dx_n où le chapeau désigne une omission. Le théorème de Fubini donne : :\int_R_+\times R^n\! \mathrm d\omega=\sum_^n\int_\!\left \mathrm dx_2\dots \mathrm dx_n=\int_f_1(0, x_2, \dots, x_n) \mathrm dx_2\dots \mathrm dx_n=\int_ i^
-\omega D'où le résultat.

Théorème fondamental de l'intégration

Si f est une fonction C^\infty de la variable réelle, alors f est une forme différentielle de degré zéro, dont la différentielle est f^\prime(x)\mathrm dx\, . Le bord orienté de est \b\ -\a\ (extrémité avec l'orientation + et origine avec l'orientation -), quelles que soient les valeurs relatives de a et b. La formule de Stokes donne dans cette situation : :\int_a^bf'(x)\mathrm dx=f(b)-f(a) En fait, le théorème de Stokes est la généralisation de cette formule aux dimensions supérieures. La difficulté se trouve bien davantage dans la mise en place du bon cadre (formes différentielles, variétés à bord ou éventuellement plus générales, orientations) que dans la démonstration, qui repose sur le théorème fondamental de l'intégration et un argument de partition de l'unité.

Formule de Green-Riemann

Soit U un domaine compact lisse de \R^2 et \alpha=f\cdot \mathrm dx+g\cdot \mathrm dy une 1-forme différentielle sur \R^2. Alors, la formule de Stokes s'écrit : :\int_\partial U \alpha = \int_\partial U\! \left=\int_U \left \, \mathrm dx\, \mathrm dy La formule de Green-Riemann est utilisée en géométrie pour démontrer l'inégalité de Poincaré.

Formule d'Ostrogradsky

Soit U un domaine compact à bord lisse de \R^3, et posons \eta=\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz. Si X est un champ de vecteurs au voisinage de l'adhérence de U, alors sa divergence vérifie : :\mathrm d\left=\mathrm(X)\cdot\omega La formule de Stokes donne alors : :\int_\partial U\! \left=\int_U\! \left\, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz

Sens physique de la formule de Stokes

Notons \mathrm d\vec S le champ de vecteurs normal sortant d'un domaine U relativement compact à bord régulier. Soit X un champ de vecteurs défini au voisinage de l'adhérence de D. On définit la forme surfacique sur \partial U par : :\eta=\iota(N)(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)\big|_\partial U On définit le flux de X par : :\oint_\partial U \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_\partial U\langle X\mid N\rangle\cdot \eta La formule d'Ostrogradsky se réécrit alors : :\oint_\partial U \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_U (\mathrm X) \, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz Soit \partial S , une courbe fermée orientée dans \R^3, S une surface orientée dont le contour est \partial S . L'orientation de \partial S est induite par l'orientation de S. Si le champ vectoriel \vec admet des dérivées partielles continues, alors : :\oint_\partial S\vec V \cdot \mathrm d\vec l = \iint_\overrightarrow\mathrm \ \vec V \cdot \mathrm d\vec S où \mathrm d\vec l est le vecteur directeur de la courbe en tout point, \overrightarrow\mathrm\ \vec V= \nabla \wedge \vec V le rotationnel de \vec V, et \mathrm d \vec S le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément. Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique).

Application à l'homologie

La formule de Stokes est utilisée pour démontrer le théorème de dualité de De Rham. La formule de Stokes permet aussi de démontrer le lemme de Poincaré. Ce dernier s'avère d'une grande utilité pour comprendre les isotopies en homologie. Il est aussi utilisé notablement dans la preuve du théorème de Darboux en géométrie symplectique.

Références

Stokes Stokes Catégorie:Forme différentielle Catégorie:Équations de Navier-Stokes ca:Teorema de Stokes cs:Stokesova věta de:Satz von Stokes en:Stokes' theorem es:Teorema de Stokes fi:Stokesin lause he:משפט סטוקס it:Teorema di Stokes ja:ストークスの定理 lmo:Teurema da Stokes pl:Twierdzenie Stokesa pt:Teorema de Stokes ru:Теорема Стокса sv:Stokes sats zh:斯托克斯公式