Déterminant (mathématiques)

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En mathématiques, initialement introduit en algèbre pour déterminer le nombre de solutions d'un système d'équations linéaires, le déterminant se révèle un outil très puissant dans de nombreux domaines (étude d'endomorphisme, recherche de valeurs propres, calcul différentiel). C'est ainsi qu'on définit le déterminant d'un système d'équations, le déterminant d'un endomorphisme ou le déterminant d'un système de vecteurs. Comme pour de nombreuses opérations, le
Déterminant (mathématiques)

En mathématiques, initialement introduit en algèbre pour déterminer le nombre de solutions d'un système d'équations linéaires, le déterminant se révèle un outil très puissant dans de nombreux domaines (étude d'endomorphisme, recherche de valeurs propres, calcul différentiel). C'est ainsi qu'on définit le déterminant d'un système d'équations, le déterminant d'un endomorphisme ou le déterminant d'un système de vecteurs. Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant peut être défini par une collection de propriétés (axiomes) qu'on résume par le terme « forme n-linéaire alternée ». Cette définition permet d'en faire une étude théorique complète et d'élargir encore ses champs d'applications. Mais le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation à l'espace de dimension n de la notion de surface ou de volume orientés. Cet aspect, souvent négligé, est une approche pratique et éclairante des propriétés du déterminant.

Histoire des déterminants

Les déterminants furent introduits en Occident à partir du , soit bien avant les matrices, qui n'apparaissent qu'au . Il convient de rappeler que les Chinois furent les premiers à utiliser des tableaux de nombres et à appliquer un algorithme maintenant connu sous le nom de procédé d'élimination de Gauss-Jordan.

Premiers calculs de déterminants

Dans son sens original, le déterminant détermine l'unicité de la solution d'un système d'équations linéaires. Il fut introduit dans le cas de la taille 2 par Cardan en 1545 dans son Ars Magna, sous forme d'une règle pour la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnuesE Knobloch Determinants in I Grattan-Guinness (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences Londre 1994 pp 766-774 . Cette première formule porte le nom de regula de modo. Le japonais Kowa Seki introduit les premiers déterminants de taille 3 et 4, à la même époque que l'allemand Leibniz L'apparition des déterminants de taille supérieure demande encore plus de cent ans. Curieusement le japonais Kowa Seki et l'allemand Leibniz en donnèrent les premiers exemples presque simultanément. Leibniz étudie de nombreux systèmes d'équations linéaires. En l'absence de notation matricielle, il représente les coefficients inconnus par un couple d'indices : il note ainsi ij pour ai, j. En 1678, il s'intéresse à un système de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet exemple, la formule de développement suivant une colonne. La même année, il écrit un déterminant de taille 4, correct aux signes prèsE. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül (Hildesheim, 1980). Leibniz ne publie pas ces travaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résultats soient redécouverts indépendamment une cinquantaine d'années plus tard. À la même période, Kowa Seki publie un manuscrit sur les déterminants, où il trouve une formulation générale difficile à interpréter. Elle semble donner des formules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4, et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de taille supérieureY. Mikami, The development of Mathematics in China and Japan (1913, 2e éd. Chelsea Pub. Company 1974). La découverte restera sans lendemain, à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.

Déterminants de taille quelconque

En 1748, un traité d'algèbre posthume de MacLaurin relance la théorie des déterminants, avec l'écriture correcte de la solution d'un système de quatre équations et quatre inconnuesC. B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley, 1968). En 1750, Cramer formule les règles qui permettent de résoudre un système de n équations et n inconnues, mais sans en donner la démonstrationGabriel Cramer Introduction to the analysis of algebraic curves 1750. Les méthodes de calcul des déterminants sont alors délicates, puisque fondées sur la notion de signature d'une permutationM. Cantor, Geschichte der Mathematik (Teubner, 1913). Les mathématiciens s'emparent de ce nouvel objet, avec des articles de Bézout en 1764Bézout Recherches sur le degré des équations résultantes de l’évanouuissement des inconnues, et sur le moyens qu’il convenient d’employer pour trouver ces équations, Mém. Acad. Roy. Sci Paris, 1764, pp 288–338, de Vandermonde en 1771Vandermonde Mémoire sur l’élimination, Hist. de l’Acad. Roy. des Sciences Paris 1772, 2e partie, pp 516-532 (étonnamment ne donnant pas le calcul du déterminant de la matrice de Vandermonde actuelleLa grande notoriété n'est assurée en Mathématiques qu'aux noms associés à une méthode, à un théorème, à une notation. Peu importe d'ailleurs que l'attribution soit fondée ou non, et le nom de Vandermonde serait ignoré de l'immense majorité des mathématiciens si on ne lui avait attribué ce déterminant que vous connaissez bien, et qui n'est pas de lui ! V.A. Lebesgue Conférence d'Utrecht 1837). En 1772, Laplace établit les formules de récurrence portant son nom. L'année suivante, Lagrange découvre le lien entre le calcul des déterminants et des volumesLagrange Nouvelle solution du problème du mouvement de rotation d’un corps de figure quelconque qui n’est animé par aucune force accélératrice Nouveaux mémoires de l’Académie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, 1773. Gauss utilise pour la première fois le mot « déterminant », dans les Disquisitiones arithmeticae en 1801. Il l'emploie pour ce que nous qualifions aujourd'hui de discriminant d'une quadrique et qui est un cas particulier du déterminant moderne. Il est également près d'obtenir le théorème sur le déterminant d'un produit.L'essentiel des informations de ce paragraphe provient du site suivant :

Mise en place de la notion moderne de déterminant

Cauchy emploie le premier le mot déterminant dans son sens moderne. On peut ainsi lire dans son article de synthèse de plus de quatre vingt pages sur la question : Elle représente une synthèse des connaissances antérieures, ainsi que des proposition nouvelles comme le fait que l'application transposée ne modifie pas le déterminant ainsi que la formule du déterminant d'un produit. Binet propose également une démonstration cette même année. Plus tard, Cauchy jette les bases de l'étude de la réduction d'endomorphismesCauchy Application du calcul des résidus à l’intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants 1826 . En publiant ses trois traités sur les déterminants en 1841 dans le journal de Crelle, Jacobi donne une véritable notoriété à la notion. Pour la première fois, il présente des méthodes de calcul systématiques, sous forme algorithmique. Il devient également possible d'évaluer des déterminants de fonctions avec la naissance du jacobien. Le cadre matriciel est introduit par les travaux de Cayley et Sylvester. Cayley est également l'inventeur de la notation des déterminants par des barres verticales ; il établit la formule de calcul de l'inverse. La théorie s'étoffe par l'étude de déterminants ayant des propriétés de symétrie particulières et par l'introduction du déterminant dans de nouveaux champs des mathématiques, comme le wronskien pour les équations différentielles linéaires.

Premiers exemples : aires et volumes

Les calculs d'aires et de volumes sous forme de déterminants dans des espaces euclidiens apparaîtront ensuite comme des cas particuliers d'une notion plus générale de déterminant. La lettre majuscule D (Det) leur est parfois réservée pour les distinguer.

Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien

Fig. 1. Le déterminant est l'aire bleue orientée. Soit P le plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des vecteurs X et X ’ est donné par l'expression analytique :\det(X, X')=\begin x & x' \\ y & y'\end=xy'-yx' ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique :\det(X, X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sin \theta dans laquelle \theta est l'angle orienté formé par les vecteurs X et X ’.

Propriétés

- la valeur absolue du déterminant est égale à l'aire du parallélogramme défini par X et X ’ ( X\sin \theta est en effet la hauteur du parallélogramme, d'où A = Base
-Hauteur).
- le déterminant est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires (le parallélogramme devient une ligne). : En effet cette annulation apparaît comme un simple test de proportionnalité des composantes des vecteurs par produit en croix.
- Son signe est strictement positif si et seulement si la mesure de l'angle (X, X ’) est comprise dans ]0, \pi \Rightarrow f(x_1, \dots, x_n)=0 L'article application multilinéaire procède à l'étude systématique des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n. Le résultat principal est la possibilité de ramener le calcul de l'image de (x_1, ..., x_n) à celui d'images des vecteurs de base par n-linéarité. En outre le caractère alterné permet de changer l'ordre des vecteurs, de sorte qu'il suffit de connaître l'image f(e_1, ... , e_n) des vecteurs d'une base, pris dans l'ordre, pour connaître f. Remettre les vecteurs dans l'ordre fait intervenir la notion de permutation. Théorème L'ensemble An(E) des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n constitue un espace vectoriel de dimension 1. De plus, si (e_, \dots, e_) est une base de E, on peut exprimer l'image d'un n-uplet de vecteurs par :f(x_1, \dots, x_n )= \left(\sum_\sigma\in \mathfrak_n \varepsilon(\sigma) \prod_^n X_\sigma(j), j \right) f(e_, \dots, e_) avec Xij la i-ème composante de xj et \varepsilon(\sigma) qui dénote la signature de la permutation \sigma (un pour une permutation paire, -1 pour une impaire).

Déterminant d'une famille de n vecteurs dans une base

Définition On suppose E muni d'une base B=(e_, \dots, e_). L'application déterminant en base B est l'unique forme n-linéaire alternée sur E vérifiant \det_B(e_1, ... , e_n)=1, abrégé en \det_B(B)=1 Il faut se représenter cette quantité comme une sorte de volume de pavé, relativement à la base B. Formule de Leibniz Gottfried Leibniz introduit les premiers déterminants de taille 3 et plus Soient x1, ...xn des vecteurs de E. Il est possible de représenter ces n vecteurs par n matrices colonnes, formant par juxtaposition une matrice carrée X. Le déterminant de x1, ...xn relativement à la base B vaut alors :\det_B(x_1, \dots, x_n)=\sum_\sigma\in \mathfrak_n \varepsilon(\sigma) \prod_^n X_\sigma(j), j Cette formule porte parfois le nom de Leibniz. Elle présente peu d'intérêt pour le calcul pratique des déterminants, mais permet d'établir plusieurs résultats théoriques. Formule de changement de base Si B et B ’ sont deux bases de E, les applications déterminants correspondantes sont proportionnelles (avec un rapport non nul) :\det_(x_1, \dots, x_n)=\det_(B)\times \det_(x_1, \dots, x_n)\, Ce résultat est conforme à l'interprétation en terme de volume relatif.

Déterminant d'une matrice

Soit une matrice A=(aij) carrée d’ordre n à coefficients réels. Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel \mathbb^n. Ce dernier est muni d'une base canonique. Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique. Il est noté det(
A) puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence. Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut un. Enfin il vérifie la formule de Leibniz :\det(A)=\sum_\sigma \in \mathfrak_n \varepsilon(\sigma) \prod_^n a_ \sigma(i), i Ce déterminant se note fréquemment avec des barres verticales : :\det \begin m_ & \cdots & m_ \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_ & \cdots & m_ \end = \begin m_ & \cdots & m_ \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_ & \cdots & m_ \end La présentation matricielle apporte une propriété essentielle : une matrice a même déterminant que sa transposée :\det A = \det \left(^t\right)\, Ce qui signifie que le déterminant de A se voit aussi comme le déterminant du système des vecteurs lignes, relativement à la base canonique. boîte déroulante|align=left|titre=Formule du déterminant de la transposée - démonstration|contenu= En appliquant la formule de Leibniz à la transposée :\det(^t A)=\sum_\sigma \in \mathfrak_n \varepsilon(\sigma) \prod_^n a_i, \sigma(i) On effectue un changement d'indice en posant j=\sigma(i). Par bijectivité de \sigma, cela conduit à :\det(^t A)=\sum_\sigma \in \mathfrak_n \varepsilon(\sigma) \prod_^n a_\sigma^(j), j Une deuxième réindexation s'impose : prendre \tau = \sigma^. L'application qui à \sigma associe son inverse est une bijection de \mathfrak_n, on peut donc effectuer ce changement d'indice et ainsi :\det(^t A)=\sum_\tau \in \mathfrak_n \varepsilon(\tau^) \prod_^n a_\tau(j), j =\sum_\tau \in \mathfrak_n \varepsilon(\tau) \prod_^n a_\tau(j), j=\det A

Déterminant d'un endomorphisme

Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Toutes les matrices représentatives de u ont le même déterminant. Cette valeur commune est appelée déterminant de u. Le déterminant de u est la valeur par laquelle u multiplie les déterminants de vecteurs :\det_B(u(x_1), \dots, u(x_n))=\det u \times \det_B(x_1, \dots, x_n)\, boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration de ces deux propriétés|contenu= On introduit l'application d_ qui à x1, ..., xn associe :d_(x_1, \dots, x_n) = \det_B(u(x_1), \dots, u(x_n))\, C'est une forme n-linéaire alternée et sa valeur sur les vecteurs de B, qu'on note d_(B), est justement le déterminant de la matrice représentative de u dans la base B. La forme d_ est donc proportionnelle au déterminant en base B, le rapport de proportionnalité se calculant en prenant l'image des vecteurs de B :d_ = d_(B) \times \det_B\, Ce qui signifie, pour un n-uplet de vecteurs :\det_B(u(x_1), \dots, u(x_n))=d_(B) \times \det_B(x_1, \dots, x_n) \qquad (1) Il reste à prouver que si B' est une autre base de E, du, B(B) est identique à du, B ' (B ' ). Pour cela on utilise la formule de changement de base dans les deux membres de (1). Notamment les endomorphismes de déterminant 1 conservent le déterminant des vecteurs. Ils forment un sous groupe de Gl(E), noté Sl(E), et appelé groupe spécial linéaire. Dans un espace réel de dimension deux, ils se conçoivent comme les applications linéaires conservant les aires orientées, en dimension trois les volumes orientés. On démontre que ce groupe est engendré par les transvections, dont la matrice dans une base adaptée est de la forme :\begin 1 & & & & \\ & 1 & \lambda & \\ & & . & & \\ & & & 1 & \\ & & & & 1 \end=I_n+\lambda E_ Par construction même du déterminant des endomorphismes, deux matrices semblables ont même déterminant.

Propriétés

Quitte à effectuer le choix d'une base, il est possible d'énoncer ces propriétés dans le cadre matriciel.

Caractère n-linéaire alterné

L'application déterminant sur les familles de vecteurs est une forme multilinéaire alternée. Utiliser cette propriété sur une matrice demande d'exprimer le système de vecteurs colonnes, ou de vecteurs lignes. Par exemple si la matrice A admet pour colonnes C1, ..., Cn avec Ci de la forme Ci=aC 'i+C ' 'i :\det(C_1, C_2, \dots, aC'_i+C
_i, \dots, C_n)=a\cdot\det(C_1, \dots, C'_i, \dots, C_n)+\det(C_1, C_2, \dots, C_i, \dots, C_n)\, Voici l'effet des opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice
- multiplier une colonne par a, entraîne la multiplication du déterminant par la même valeur
- échanger deux colonnes, entraîne la multiplication du déterminant par -1
- ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes ne modifie pas le déterminant. Notamment, si toutes les colonnes sont multipliées par a, le résultat est une multiplication par an du déterminant :\det (a \times M) = a^n \times \det En revanche, il n'existe pas de formule simple exprimant le déterminant de la somme A+B de deux matrices. En effet, appliquer la multilinéarité par rapport aux colonnes demande d'écrire les colonnes de la somme comme Ai+Bi, puis d'appliquer n fois la propriété de linéarité. Finalement, le déterminant de A+B se scinde en une somme de 2n déterminants hybrides det(
A1, A2, B3, A4, ..., Bn), formés d'un certain nombre de colonnes de A et de B. Il est possible d'effectuer également des opérations élémentaires sur les lignes, qui ont les mêmes propriétés que les opérations sur les colonnes. Opérer sur les lignes suivant la technique du pivot de Gauss fournit une méthode systématique de calcul des déterminants ; c'est la méthode la plus efficace en règle générale.

Propriétés de morphisme et d'annulation

Augustin Louis Cauchy prouve que le déterminant constitue un morphisme de groupes Cas d'annulation des déterminants
- le déterminant d'un système de n vecteurs est nul si et seulement si ce système est lié (et ceci est valable quelle que soit la base de référence)
- le déterminant d'une matrice (ou d'un endomorphisme) est nul si et seulement si cette matrice (ou endomorphisme) est non inversible. Ces propriétés expliquent le rôle essentiel que peuvent jouer les déterminants en algèbre linéaire. Ils constituent un outil fondamental pour prouver qu'une famille de vecteurs est une base. :
Démonstration du cas d'annulation :
- si le système est lié, une colonne est combinaison linéaire des autres. Par une opération élémentaire, il est possible de se ramener à un déterminant ayant une colonne nulle, donc nul. :
- si le système est libre, il est possible de le considérer comme une base B' et lui appliquer la formule de changement de bases : detB(B ').detB ' (B)=1. Propriété de morphisme
-\det (M \times N) = \det \times \det
- ainsi si M est inversible alors \det = (\det)^\,
- et le déterminant est un morphisme de groupes de (GL_n(\mathbb), \times) dans (\mathbb^
-, \times) :
Démonstration de la propriété de morphisme'' :La double application de la formule pour l'image d'une famille de vecteurs donne le résultat, en prenant les vecteurs images des vecteurs de la base B eux-mêmes ::\det (uv)=\det_B (u(v(e_1)), \dots, u(v(e_n)))=\det u . \det_B (v(e_1), \dots, v(e_n))=\det u \det v Il existe une généralisation de la formule de déterminant d'un produit pour le cas de deux matrices rectangulaires : c'est la formule de Binet-Cauchy.

Cofacteurs et formule de récurrence

Soit A une matrice carrée de taille n, et A(x) la matrice dont les coefficients sont les mêmes que ceux de A, sauf le terme d'indice i, j qui vaut ai, j+x (c'est la modification d'un des coefficients de la matrice, toutes choses égales par ailleurs). Par la formule de linéarité pour la j-ème colonne, il est possible d'établir :\det A(x)=\det A + x(-1)^\begina_ & \dots & a_& a_& \dots & a_ \\\vdots & & \vdots & \vdots& &\vdots\\ a_ & \dots & a_& a_& \dots & a_ \\ a_ & \dots & a_& a_& \dots & a_ \\ \vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\ a_ & \dots & a_& a_& \dots & a_\end = \det A+x \rm Cof_ Le terme noté Cofi, j est appelé cofacteur d'indice i, j. Il se calcule de la façon suivante : en notant M(i;j) le déterminant de la sous-matrice déduite de M par suppression la ligne i et la colonne j, le cofacteur est (-1)i+j fois M(i;j). Il admet les interprétations suivantes
- augmenter de x le coefficient d'indice i, j de la matrice (toutes choses égales par ailleurs) revient à augmenter le déterminant de x fois le cofacteur correspondant
- le cofacteur est la dérivée du déterminant de la matrice A(x) Formules de Laplace Pierre-Simon Laplace Si n>1 et A est une matrice carrée de taille n alors il est possible de calculer son déterminant en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul du déterminant à n calculs de déterminants de taille n-1.
-Formule de développement par rapport à la colonne j :\det=\sum_^ a_ \rm Cof_
- On peut donner également une formule de développement par rapport à la ligne i :\det=\sum_^ a_ \rm Cof_ Comatrice et calcul de l'inverse La comatrice de A, est la matrice constituée des cofacteurs de A. Elle généralise les formules de développement du déterminant par rapport aux lignes ou colonnes :A \times ^t\rm com A = ^t\rm com A\times A =\det \times I_n La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire de A. Notamment si A est inversible, l'inverse de A est un multiple de la matrice complémentaire. Cette approche offre une formule de la matrice inverse, ne nécessitant que des calculs de déterminants :A^=\frac1\det A \, ^t\rm com A

Variations de la fonction déterminant

La formule de Leibniz montre que le déterminant d'une matrice A s'exprime comme somme et produit de composantes de A. Il n'est donc pas étonnant que le déterminant ait de bonnes propriétés de régularité.

Déterminant dépendant d'un paramètre

Si t\mapsto A(t) est une fonction de classe \mathcal C^k à valeurs dans les matrices carrées d'ordre n, alors t\mapsto \det A(t) est également de classe \mathcal C^k. La formule de dérivation s'obtient en faisant intervenir les colonnes de A :\frac\rm d\rm dt \left(\det (A_1(t), \dots, A_n(t)) \right)= \sum_^n \det (A_1(t), \dots, A_(t), A'_i(t), A_(t), \dots, A_n(t)) Cette formule est formellement analogue à la dérivée d'un produit de n fonctions numériques.

Application déterminant sur l'espace des matrices

- L'application qui à la matrice A associe son déterminant est continue. Cette propriété présente des conséquences topologiques intéressantes : ainsi le groupe GLn(\mathbb) est un ouvert, le sous-groupe SLn(\mathbb) est un fermé.
- Cette application est différentiable et même \mathcal C^\infty. Le développement limité à l'ordre un du déterminant au voisinage de A s'écrit :\det (A+H)=\det A + \rm tr (^t\rm Com (A).H)+o(\|H\|) C'est-à-dire que dans Mn(\mathbb) muni de son produit scalaire canonique, la comatrice s'interprète comme le gradient de l'application déterminant :\nabla \det (A) = \rm Com (A) Notamment pour le cas où A est l'identité :\det (I+H)=1 + \rm tr (H)+o(\|H\|)\qquad \nabla \det (I) = I Le caractère différentiable permet d'affirmer que GLn(\mathbb) est un groupe de Lie.
- Elle est aussi polynomiale, ce qui fait de GLn(\mathbb) une variété algébrique. Ces formules portent parfois le nom d'identités de Jacobi. Elles sont établies dans l'article comatrice.

Généralisation aux espaces vectoriels sur d'autres corps et aux modules

Les différentes définitions et propriétés de la théorie des déterminants s'écrivent de façon identique dans le cadre des espaces vectoriels complexes et des matrices à coefficients complexes. Il en est de même sur tout corps commutatif, sauf pour le paragraphe « variations de la fonction déterminant » qui n'a alors pas de sens. La quasi-totalité de la théorie des déterminants peut encore être étendue aux matrices à coefficients dans un anneau commutatif A et aux modules de dimension finie sur A. Le seul point de divergence est la caractérisation de l'annulation des déterminants. Ainsi une matrice à coefficients dans un anneau commutatif A est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans A. La question de l'algorithme de calcul du déterminant est à reprendre. En effet, la méthode du pivot de Gauss demande d'effectuer des divisions, ce qui n'est pas possible dans l'anneau A lui-même. Les formules de Leibniz ou de Laplace permettent de faire un calcul sans division, mais restent très coûteuses. Il existe des algorithmes bien plus raisonnables, dont le temps d'exécution est d'ordre n4 ; notamment, l'algorithme du pivot de Gauss s'adapte dans le cas d'un anneau euclidien, cette adaptation est décrite dans l'article sur le théorème des facteurs invariants. Le site de l'université libre de Berlin propose un (en anglais).

Notes

Voir aussi

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Sujets connexes
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