Tenseur métrique

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En géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur de rang 2 qui est utilisé pour la mesure des distances et des angles. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice, généralement notée G.
Tenseur métrique

En géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur de rang 2 qui est utilisé pour la mesure des distances et des angles. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice, généralement notée G.

Définition

Le tenseur métrique est un tenseur de rang 2 (c'est-à-dire une forme bilinéaire) défini sur un espace vectoriel E : g : E\times E \to \R. g est :
- symétrique : \forall \mathbf, \mathbf \in E \quad g(\mathbf, \mathbf) = g(\mathbf, \mathbf)
-
non dégénéré'' : \left \Rightarrow \mathbf=0 On reconnaît ainsi presque un produit scalaire. La seule propriété manquante est la positivité (\forall x \in E \quad g(x, x) \ge 0 ; si elle se produit g est automatiquement défini positif). Lorsque g n'est pas positif, on peut parler de pseudo-métrique (c'est le cas de l'Espace de Minkowski). On peut faire apparaître les composants du tenseur métrique : g(\mathbf, \mathbf) = g(u^i \mathbf, v^j \mathbf) = u^i v^j g(\mathbf, \mathbf) = u^i v^j g_

Montée et descente d'indices

Le tenseur métrique sert à monter ou à descendre les indices des vecteurs / formes différentielles / tenseurs. Prenons le cas du vecteur \mathbf = x^\alpha \mathbf e_\alpha . Le produit g_\alpha \beta x^\alpha\ correspond à la forme linéaire qui à un vecteur \mathbf associe le réel g(\mathbf , \mathbf ) . Il s'agit donc d'une forme linéaire (un élément de l'espace dual), dont on vérifie aisément que les coordonnées dans la base duale sont les coordonnées de \mathbf dans la base de l'espace vectoriel. Il vient donc : g_\alpha \beta x^\alpha = x_\beta. Le tenseur métrique a donc abaissé l'indice de x^\alpha en x_\beta.

Distance et longueur

La notation g_ est conventionnellement utilisée pour les composants du tenseur métrique. Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée. La longueur d'un segment d'une courbe paramétrée par t partant du point a et arrivant au point b est définie par : L = \int_a^b \sqrt g_ \mathrm dx^i \mathrm dx^j On l'écrit souvent avec la notation : \mathrm ds^2 = g_ \mathrm dx^i \mathrm dx^j~. L'angle entre deux vecteurs tangents U et V est défini par : \cos \theta = \frac \sqrt \left| g_U^iU^j \right| \left| g_V^iV^j \right| Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations donnant la relation entre l'espace considéré et un espace cartésien, c'est-à-dire un espace pour lequel g_ = \delta_ (cfr. delta de Kronecker), il faut calculer la matrice jacobienne de ces équations. Le tenseur métrique est le produit de cette matrice par sa transposée : G = J^T\;J En appliquant la même opération à partir des équations donnant la relation entre l'espace cartésien et l'espace considéré, on obtient alors l'expression contravariante du tenseur. On peut alors retrouver son expression covariante en sachant que g^\mu \nu\cdot g_\nu \rho= \delta^\nu_\rho , où g^\mu \nu est l'expression contravariante du tenseur, et g_\nu \rho son expression covariante.

Exemple

Dans un espace euclidien à 2 dimensions, et en prenant un repère cartésien orthonormé, le tenseur métrique est : G = \begin 1 & 0 \\ 0 & 1\end et la longueur d'une courbe vaut : L = \int_a^b \sqrt (\mathrm dx^1)^2 + (\mathrm dx^2)^2

Produit avec sa dérivée partielle

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme : g^ g_ = - g_ g^. Démonstration|La matrice g^ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique g_ : g^ g_ = \delta^i_k. Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a g^ g_ = \delta^i_i. Or la contraction \delta^i_i du tenseur unité donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi g^ \mathrm d g_ = - g_ \mathrm d g^. D'où l'expression cherchée.
- Si g_ était un tenseur, on aurait le signe +.
- On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante g_ du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.

Exemples de métriques

Plan euclidien, coordonnées polaires : (x^1, x^2)=(r, \theta) G = \begin 1 & 0 \\ 0 & r^2\end Espace euclidien, coordonnées cylindriques : (x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z) G = \begin 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end Espace euclidien, coordonnées sphériques : (x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi) G = \begin 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2 \theta\end Espace de Minkowski, espace-temps plat (relativité restreinte) : (x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z) G = \begin -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end \ Métrique de Schwarzschild (solution particulière de la relativité générale, l'espace est ici courbé) : (x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, r, \theta, \phi) G = \begin -1+\frac & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac1-\frac & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end

Voir aussi

- Transformation contraco Catégorie:Tenseur bg:Метричен тензор cs:Metrický tenzor de:Metrischer Tensor en:Metric tensor es:Tensor métrico fi:Metrinen tensori it:Tensore metrico ja:計量テンソル ko:계량 텐서 nl:Metrische tensor pl:Tensor metryczny pt:Tensor métrico ru:Метрический тензор ur:بحر (موترہ) zh:度量张量
Sujets connexes
Angle   Convention de sommation d'Einstein   Coordonnées cylindriques   Coordonnées polaires   Coordonnées sphériques   Distance   Dérivée covariante   Espace de Minkowski   Espace dual   Espace euclidien   Espace vectoriel   Forme bilinéaire   Géométrie différentielle   Inverse de la matrice du tenseur métrique   Matrice (mathématiques)   Matrice jacobienne   Métrique de Schwarzschild   Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique   Produit scalaire   Relativité générale   Relativité restreinte   Symbole de Kronecker   Système de coordonnées   Tangente (géométrie)   Tenseur   Transformation contraco   Vecteur  
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