Espace séparé

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En topologie et dans d'autres branches des mathématiques, un espace séparé ou espace de Hausdorff est un espace topologique dans lequel, pour deux points distincts x et y quelconques, il existe un voisinage de x et un voisinage de y disjoints. De tous les axiomes de séparation qui peuvent être demandés à un espace topologique, la condition séparé est un des plus fréquemment supposés et discutés. Les espaces de Hausdorsff doiv
Espace séparé

En topologie et dans d'autres branches des mathématiques, un espace séparé ou espace de Hausdorff est un espace topologique dans lequel, pour deux points distincts x et y quelconques, il existe un voisinage de x et un voisinage de y disjoints. De tous les axiomes de séparation qui peuvent être demandés à un espace topologique, la condition séparé est un des plus fréquemment supposés et discutés. Les espaces de Hausdorsff doivent leur nom à Felix Hausdorff, mathématicien allemand qui fut l'un des fondateurs de la topologie. D'ailleurs, dans sa définition originale d'espace topologique, Hausdorff supposait cette condition réalisée.

Tout espace métrique est séparé

En effet soit (E\, , \, d)\; un espace métrique, et soit a\; et b\; deux points distincts de E\;. Notons r=d(a, b)\; alors la boule de centre a\; et de rayon r/3\; (resp. la boule de centre b\; et de rayon r/3\;) est un voisinage de a\; (resp. b\;) et les deux boules ont une intersection nulle.

Propriété fondamentale

Dans un espace topologique séparé, une suite convergente a une limite unique.

Preuve

Supposons que (u_n)_n\in\mathbb N soit une suite convergeant vers les points x et y dans un espace topologique séparé. Soit V_x un voisinage de x et V_y un voisinage de y. (u_n)_n\in\mathbb N tend vers x donc il existe un entier N_x tel que \forall n \geq N_x, u_n \in V_x. (u_n)_n\in\mathbb N tend vers y donc il existe un entier N_y tel que \forall n \geq N_y, u_n \in V_y. Posons N=max(N_x, N_y). On a immédiatement \forall n \geq N, u_n \in V_x\cap V_y. Et donc V_x\cap V_y\neq\empty. Autrement dit, un voisinage de x et un voisinage de y ont forcément des points en commun, ce qui dans un espace topologique séparé implique que x = y (contraposée de la définition de séparé). Ainsi une suite convergente d'un espace topologique séparé ne peut converger vers deux limites distinctes. CQFD.

Propriétés voisines de la séparation

On trouvera dans l'article glossaire topologique plusieurs notions de séparation dans les espaces topologiques. La séparation de deux points distincts par deux voisinages disjoints y possède la classification T_2.

La séparation T1

Une propriété de séparation plus faible est la propriété T_1. Un espace T_1 est tel que deux points distincts possèdent chacun un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Un espace T_2 est évidemment T_1, mais la réciproque est fausse. Par exemple, un espace E infini dont les ouverts non vides sont les complémentaires des parties finies est T_1 mais pas T_2. Dans un espace T_1, les singletons sont des fermés. En effet soit a un point quelconque. Quelque soit x élément de l'espace topologique il existe un voisinage de x ne contenant pas a. L'union de tous ces voisinages quand x parcourt le complémentaire de a est un ouvert. Le complémentaire de a est donc un ouvert. Dans un tel ensemble, tout ensemble de cardinal fini est fermé. Dans un espace T_1, tout point est intersection de ses voisinages. Dans un espace T_2, il suffit de prendre l'intersection des voisinages fermés.

La séparation T2 1/2

Une propriété de séparation plus forte que la séparation T_2 est la propriété T_2 1 \over 2. Dans un espace T_2 1 \over 2, deux points distincts admettent des voisinages dont les adhérences sont disjointes. Tout espace T_2 1 \over 2 est un espace T_2, mais la réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant qui est T_2 mais pas T_2 1 \over 2. On considère l'ensemble E constitué de l'intérieur du disque de centre O de rayon 1 et des deux points (1, 0) et (-1, 0). Une base de voisinages d'un point intérieur au disque est formée des disques centrés en ce point. Une base de voisinages du point (1, 0) est constituée de la réunion de ce point et d'une bande semi-circulaire adjacente à ce point et limitée par des segments et . De même pour (-1, 0). Dans le dessin ci-dessous, on a représenté en couleur un voisinage d'un point intérieur au disque, et un voisinage de chacun des points (1, 0) et (-1, 0). Si ces deux derniers voisinages sont ouverts, ils sont disjoints, mais leurs adhérences s'intersectent selon une partie des segments communs qui les limitent. E est donc séparé, mais il ne vérifie pas la propriété T_2 1 \over 2. Espace topologique séparé Catégorie:Topologie générale cs:Hausdorffův prostor de:Hausdorff-Raum en:Hausdorff space es:Propiedad de Hausdorff fa:فضای هاسدورف he:מרחב האוסדורף it:Spazio di Hausdorff ja:ハウスドルフ空間 ko:하우스도르프 공간 nl:Hausdorff pl:Przestrzeń Hausdorffa pt:Espaço de Hausdorff ru:Хаусдорфово пространство sv:Hausdorffrum uk:Гаусдорфів простір zh:豪斯多夫空间
Sujets connexes
Axiome   CQFD   Espace topologique   Felix Hausdorff   Glossaire topologique   Limite   Mathématiques   Suite (mathématiques)   Topologie  
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