Relativité restreinte

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La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la relativité galiléenne et du fait que la vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels inertiels, ce qui était implicitement énoncé dans les équations de Maxwell (mais interprété bien différemment jusque là avec « l'espace absolu » de Newton et éther). :La relativité galilée
Relativité restreinte

La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la relativité galiléenne et du fait que la vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels inertiels, ce qui était implicitement énoncé dans les équations de Maxwell (mais interprété bien différemment jusque là avec « l'espace absolu » de Newton et éther). :La relativité galiléenne stipule, en langage moderne, que toute expérience faite dans un référentiel inertiel se déroulerait de manière parfaitement identique dans tout autre référentiel inertiel. Devenue « principe de relativité », son énoncé sera ensuite modifié par Einstein pour être étendu aux repères non-inertiels : de « restreinte » la relativité deviendra « générale ». La théorie de la relativité restreinte a établi de nouvelles formules permettant de passer d'un référentiel galiléen à un autre. Les équations correspondantes conduisent à des phénomènes qui heurtent le sens commun, un des plus étonnants et des plus célèbres étant connu sous le nom de paradoxe des jumeaux (un paradoxe qui par ailleurs a été popularisé en science-fiction). La relativité restreinte a eu également un impact en philosophie en éliminant toute possibilité d'existence d'un temps et de durées absolues dans l'ensemble de l'univers. À la suite de Henri Poincaré elle a forcé les philosophes à se poser différemment la question du temps et de l'espace.

Origines de la théorie

Bref historique

À la fin du , Maxwell établit les équations régissant les ondes électromagnétiques et notamment les ondes lumineuses. Selon cette théorie la vitesse de la lumière ne devait dépendre que des propriétés électriques et magnétiques du milieu et non de la vitesse du repère de mesures, ce qui posait un problème. En effet, en mécanique newtonienne les vitesses s'ajoutent (pour dire les choses rapidement). Si d'une fusée se déplaçant à la vitesse de 7 km/s par rapport à la Terre on tire un boulet de canon vers l'avant à la vitesse de 1 km/s par rapport à la fusée, la vitesse du projectile par rapport à la Terre sera de 8 km/s. Si le boulet est tiré vers l'arrière, sa vitesse sera de 6 km/s. Les équations de Maxwell disent au contraire que si on émet un faisceau lumineux depuis la fusée vers l'avant ou vers l'arrière la vitesse de la lumière mesurée sur Terre sera la même. L'expérience a été conduite par Michelson et Morley, la Terre elle-même jouant le rôle de la fusée. Comme notre planète se déplace autour du Soleil à la vitesse de 30 km/s, ils voulaient voir s'ils pouvaient mettre en évidence une différence de vitesse de la lumière entre la direction du mouvement de révolution et la direction opposée. N'ayant détecté aucune telle différence cette expérience a confirmé la validité des équations de Maxwell. Des formules de transformation pour passer d'un observateur à un autre furent établies par Lorentz ; il s'agissait d'équations de compatibilité dont la signification n'était pas claire. Une explication a été alors imaginée pour justifier ces formules étranges : l'éther, milieu jugé précédemment nécessaire à la propagation des ondes lumineuses comme l'air est nécessaire à la propagation des ondes sonores, possèderait les propriétés élastiques qui conduiraient à ces équations. Poincaré a publié des articles sur la théorie avant EinsteinOn pourra en trouver la traduction en français commentée par Anatoly A. Logunov., directeur de l'Institut de physique des hautes énergies (Protvino, Russie), membre de l'Académie des sciences de Moscou. Cet article est intitulé : . En 1905, dans son article intitulé De l'électrodynamique des corps en mouvement Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, 17, p. 891, 30 juin 1905. , Albert Einstein présenta la relativité comme suit :
- L'éther est une notion arbitraire qui n'est pas utile à l'expression de la théorie de la relativité.
- La célérité de la lumière par rapport aux observateurs ne dépend pas de leur vitesse.
- Les lois de la physique respectent le principe de relativité. Les équations de Lorentz qui en découlent sont conformes à la réalité physique. Elles ont des conséquences inattendues. Ainsi un observateur attribue à un corps en mouvement une longueur plus courte que la longueur attribuée à ce même corps au repos et la durée des phénomènes qui affectent le corps en mouvement est allongée par rapport à cette « même » durée mesurée par des observateurs immobiles par rapport à ce corps. Einstein a également réécrit les formules qui définissent la quantité de mouvement et l'énergie cinétique de manière à les rendre invariantes dans une transformation de Lorentz. Le temps et les trois coordonnées d'espace jouant des rôles indissociables dans les équations de Lorentz, Minkowski les interpréta dans un espace-temps à quatre dimensions. Remarquons toutefois que le temps et l'espace restent de natures différentes et qu'on ne peut donc pas assimiler l'un à l'autre. Par exemple on peut faire demi-tour dans l'espace alors que cela est impossible dans le temps. De ce point de vue, des cosmologistes comme Wheeler défendent l'idée C. W. Misner, Kip Thorne & John Wheeler : Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), Box 2.1, page 51, intitulé « Farewell to "ict" » qu'il n'est pas pertinent de considérer le temps comme une coordonnée imaginaire et proposent d'abandonner cette habitude. Bien entendu il reste que le temps ne peut pas être séparé de l'espace et que la relativité doit se développer dans un espace-temps à quatre dimensions, une pour le temps et trois pour l'espace. La répartition des rôles de tel ou tel savant dans l'émergence de la théorie de la relativité restreinte fait l'objet d'une controverse, particulièrement depuis les années 2000.

Attitude du comité Nobel

En 1912, Lorentz et Einstein furent proposés pour un prix Nobel conjoint pour leur travail sur la théorie. La recommandation était de Wien, lauréat de 1911, qui déclare que « bien que Lorentz doive être considéré comme le premier à avoir trouvé le contenu mathématique du principe de relativité, Einstein réussit à le réduire en un principe simple. On devrait dès lors considérer le mérite des deux chercheurs comme comparable ». Einstein ne reçut jamais le Nobel pour la relativité, le prix Nobel n'étant, en principe, jamais accordé pour une théorie pure. Le comité attendit donc une confirmation expérimentale. Le temps que cette dernière se présente, Einstein était passé à d'autres travaux importants. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Special_relativity.html Einstein se verra finalement décerner le prix Nobel de physique en , pour ses apports à la physique théorique...for his services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect. », et tout spécialement pour son explication de l'effet photoélectrique.

Interprétation du temps par Poincaré

C'est Poincaré qui a donné à l'ensemble des formules de transformation le nom d'« équations de Lorentz ». Il indique dans son cours de 1898 que le temps local que Lorentz présentait comme un paramètre fictif n'avait pas de raison de ne pas être considéré comme le temps tout court, qui serait relatif et non pas absolu. En juin 1905, Poincaré signale également que l'ensemble des transformations en question forme une structure de groupe sur l'espace-temps, et que le terme (x^2+y^2+z^2-c^2t^2\, ) constitue un invariant du groupe. Dans un texte publié en 1915, Lorentz approuve le point de vue de Poincaré. Nous trouvons dans le livre de T. DamourVoir bibliographie, T. Damour, p.33 et 34, une analyse comparée du concept de temps chez Poincaré et Einstein montrant la valeur de ce qu'apporte Einstein. Citons-en quelques phrases : Une conséquence cruciale de la limitation de l'horizon conceptuel de Poincaré est que le "temps local", dont il parle dans le texte de 1904 cité ci-dessus diffère de façon essentielle du "temps" qu'Einstein attribue à un référentiel en mouvement. En effet, une lecture attentive du texte de Poincaré de 1904, des cours qu'il donna à la Faculté des Sciences de Paris pendant l'hiver 1906-1907, et d'un article publié en 1908, montre que le "temps" dont parle Poincaré est toujours un temps dont la "seconde" est battue par des horloges en "repos absolu". À cet égard, si l'on peut discuter le fait qu'Einstein ait lu ou non Poincaré avant juin 1905, il convient de se demander si Poincaré avait lu l'article de 1905 d'Einstein par la suite. Citons encore la conclusion de T. Damour sur le sujet : « Comme Lorentz et Poincaré pensaient toujours le temps en termes de temps universel absolu de Newton, ils n'ont jamais suggéré, comme Einstein le fit, qu'une horloge en mouvement puisse battre un temps différent de celui d'une horloge au repos. »

La théorie

Les postulats d'Einstein (1905)

- Les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels inertiels. (Rappelons qu'un référentiel est dit inertiel s'il ne subit aucune accélération: une fusée dans l'espace loin de toute masse constitue un répère inertiel si aucun moteur n'est allumé.)
- La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels inertiels. Le premier postulat est le principe de relativité proprement dit, dans sa conception restreinte à la classe des référentiels inertiels. Il formalise une intuition de Galilée selon laquelle le mouvement rectiligne uniforme est « comme rien » pour l'observateur appartenant au référentiel mobile. Le second postulat permet en pratique une synchronisation des horloges fixes d'un référentiel donné, en tout endroit de ce référentiel : l'utilisation des signaux lumineux permet au « gardien du temps » de synchroniser toutes les horloges de son référentiel. Pour ce faire il suffit que cet administrateur émette un top horaire, à midi par exemple. Lorsque l'observateur situé à la distance r recevra le top il tiendra compte du temps r /c que le top aura mis à lui parvenir et mettra son horloge à l'heure « midi+
r /c ». On peut se passer du second postulat pour déterminer les équations des transformations de Lorentz à condition d'introduire une hypothèse supplémentaire au premier postulat : l'espace-temps est homogène et isotrope. Ce fait a été découvert dès 1910 par KunzJ. Kunz ; American Journal of Science 30 (1910) 1313. et indépendamment par ComstockD.F. Comstock ; Physical Review 30 (1910) 267.. L'hypothèse additionnelle conduit à un groupe de transformations à un paramètre c\, , physiquement homogène à une vitesse. Ces transformations s'identifient :
- aux transformations de Galilée si c^2\, est infini.
- aux transformations de Lorentz si c^2\, est fini positifLe cas c^2 fini négatif est exclu, car la théorie ne possèderait alors plus aucune notion de causalité.. L'identification de c\, à la vitesse de la lumière, établie comme finie par les observations, se traduit par le second postulat. Le lecteur intéressé par cet aspect peut consulter, par exemple, , ou encore le paragraphe 2.17 : Special Relativity Without the Second Postulate de .

Les transformations de Lorentz

Systèmes d'axes parallèles pour faciliter le travail On considère deux référentiels \mathbb et \mathbb, le premier référentiel \mathbb étant animé de la vitesse \vec par rapport au référentiel \mathbb. Pour simplifier le calcul on travaille d'abord dans le cadre de transformations dites « spéciales », caractérisées par le fait que les systèmes d'axes x, y, z et x', y', z' sont parallèles et que les axes O ’x ’ et Ox sont communs et parallèles à la vitesse \vec. Cette restriction ne nuit nullement à la généralité des résultats. On écrira ci-dessous les formules relatives à une vitesse pointant dans une direction quelconque. Les hypothèses d'Einstein conduisent aux transformations dites « de Lorentz ». Les formules de Lorentz permettent d'exprimer les coordonnées (
x, y, z, t) d'un événement donné dans le repère « fixe » (disons la Terre) en fonction des coordonnées (x ’, y ’, z ’, t ’ ) du même événement dans le repère « mobile » (disons une fusée). Elles s'écrivent : : \beginct = \gamma (ct'+ \beta x')\\ x = \gamma (x' + \beta ct')\\ y = y'\\ z = z' \end où \beta et \gamma sont des facteurs sans dimension définis par : \beta = v/c \qquad \gamma= \frac \sqrt1-\beta^2\, . Ces expressions se simplifient et prennent la forme d'une rotation si on fait intervenir les fonctions hyperboliques de l'angle θ défini par : \tanh\theta = v/c \equiv\beta \qquad \text \qquad \theta = \mathrm (v/c)\equiv \mathrm\, \beta Avec ces notations on obtient : \gamma = (1 - \beta^2)^ = (1 - \tanh^2\, \theta)^ = \cosh \, \theta et : \begin ct= ct'\cosh\, \theta + x'\sinh\, \theta \\ x = ct' \sinh\, \theta + x'\cosh\, \theta \end Pour obtenir les formules correspondant à la transformation inverse il suffit de changer β en -β, et donc θ en -θ, ce qui conduit à : : \begin ct'= ct\cosh\, \theta - x\sinh\, \theta \\ x' = - ct \sinh\, \theta + x\cosh\, \theta \end Un truc : pour trouver le signe à mettre devant sinhθ il suffit de considérer un point au repos dans l'un des repères (disons celui de la fusée, avec x ’ = 0 par exemple) et de voir quel doit être le signe de la coordonnée spatiale dans l'autre repère (disons le repère fixe dans lequel x croît si la fusée a une vitesse positive). Si les transformations spéciales simplifient l'étude analytique, elles ne nuisent en rien à la généralité. On peut aisément passer au cas où les référentiels en mouvement ne sont pas parallèles l'un à l'autre, et sont d'orientation quelconque par rapport à leur vitesse relative \vec. Il est toujours possible de décomposer le vecteur \vec suivant deux directions : celle parallèle au déplacement \vec_ et celle orthogonale à celle-ci \vec_\bot. On a donc : \vec=\vec_+\vec_\bot En posant :\vec\beta = \vec/c Les transformations de Lorentz donnent : :\left\\begin ct'=\gamma(ct-\vec\beta\cdot\vec)\\ \vec_=\gamma(-\vec\betact + \vec_)\\ \vec_\bot=\vec_\bot\\ \end\right. \, . ce qui conduit à :\vec = \vec_\bot+\vec_ = \gamma(-\vec\betact + \vec_)+\vec_\bot=\gamma(-\vec\betact + \vec)-(\gamma-1)\vec_\bot\, . Comme :\vec\beta\times\vec=\vec\beta\times(\vec_\bot+\vec_)=\vec\beta\times\vec_\bot on a (en multipliant vectoriellement par \vec\beta) :\vec\beta\times(\vec\beta\times\vec)=-\beta^2\vec_\bot On obtient donc l'expression des transformations générales de Lorentz sous la forme : :\left\\begin ct'=\gamma(ct-\vec\beta\cdot\vec)\\ \vec=\gamma(-\vec\betact + \vec)+\, \vec\beta\times(\vec\beta\times\vec)\\ \end\right.

Dilatation du temps et contraction des longueurs

Les transformations de Lorentz mènent à une vision révolutionnaire de la physique et font apparaître des phénomènes qui heurtent le sens commun. Dans les exemples qui suivent nous allons être amenés à considérer deux événements successifs. On réécrira donc les formules précédentes en remplaçant les x et les t par des Δx et des Δt représentant l'écart spatial ou temporel entre le premier événement et le second.

Dilatation des durées

Un phénomène physique durant un intervalle de temps dans un référentiel dure une quantité différente dans un autre référentiel. Supposons un intervalle de temps \Delta t' correspondant à l'intervalle entre deux battements de cœur d'un individu, entre deux tocs d'une horloge, immobiles dans le référentiel \mathbb (disons celui de la fusée), ce qui veut dire que dans ce référentiel les deux événements (1 battement, 2 battement, ...) ont lieu au même point d'espace de \mathbb. Puisque \Delta x' = 0 l'équation de Lorentz : c\Delta t = c\Delta t' \cosh\, \theta + \Delta x' \sinh\, \theta montre immédiatement que :\Delta t = \Delta t'\cosh\, \theta = \gamma \Delta t' = \frac\Delta t'\sqrt\, . Cette expression montre que Δ
t est toujours plus grand que Δt '. Ainsi, le même phénomène durant 1 seconde (par exemple) dans le référentiel de la fusée est vu durer \gamma secondes (γ>1) dans le référentiel terrestre : une horloge embarquée paraît ralentir. C'est cet effet qui est à l'origine du paradoxe des jumeaux, le jumeau revenant d'un voyage imaginaire à une vitesse proche de celle de la lumière (ce qui par ailleurs est impossible à réaliser) se retrouvant au retour plus jeune que son frère resté sur Terre. Il faut insister sur la signification de la notion de durée entre deux événements se produisant en un même point dans un certain référentiel. D'après la formule ci-dessus c'est dans ce référentiel que la durée mesurée est la plus courte. Elle est lue par l'intermédiaire d'une seule horloge. On lui attribue le nom de durée de temps propre. Pour tout référentiel par rapport auquel le voyageur se déplace, la durée du phénomène demande, pour sa mesure, deux horloges, une à chacun des points du référentiel où se trouvera le voyageur à l'instant initial et à l'instant final. Cette durée sera toujours plus longue que la durée propre. Les vérifications expérimentales sont nombreuses : durée de vie de muons atmosphériques, durée de vie de particules dans les accélérateurs, marches des horloges embarquées des satellites (le phénomène sert dans ce cas à séparer des effets de la gravitation), etc.

Contraction des longueurs

Supposons que dans le référentiel \mathbb de la fusée se trouve une règle fixe, de longueur L', le long de l'axe O'x'. Cette longueur mesurée dans le référentiel dans lequel la règle est fixe est la longueur propre de la règle. Dans le référentiel \mathbb de la Terre, par rapport auquel la règle se meut, on pourra mesurer la longueur de la règle en considérant les deux événements suivants : le premier sera défini comme celui du passage de la première extrémité de la règle en face de tel observateur terrestre lorsque son horloge indiquera (disons) midi, le second sera celui du passage de la seconde extrémité de la règle en face d'un autre observateur terrestre à la même heure, toujours midi. La distance des deux observateurs sera considérée comme une mesure de la longueur de la règle dans le repère fixe puisqu'elle représente la distance entre les points de \mathbb qui coïncident avec les extrémités de la règle au même instant de \mathbb. Comme Δ
t = 0, l'équation de Lorentz :\Delta x' = \Delta x \cosh\, \theta - c\Delta t \sinh\, \theta s'écrit :L'= L \cosh\, \theta = \gamma L\, . Par conséquent, la longueur L mesurée sur Terre est :L = L'/\gamma = L' \sqrt\, , de sorte que L est plus petit que L’. Il faut cependant se défendre d'appliquer ce phénomène de contraction des longueurs de façon irréfléchie. Il faut toujours passer par la définition soigneuse des événements en cause et examiner comment leurs coordonnées changent d'un repère à l'autre. Autrement on peut tomber sur de nombreux paradoxes. L'un des plus connus relatifs à cette contraction relativiste des longueurs est celui de la voiture censée rentrer dans un garage plus court qu'elle, à condition de rouler assez vite. Tous ces paradoxes sont étudiés en détail par et WheelerE.F. Taylor, J.A. Wheeler, Spacetime Physics, W.H. Freeman and Company, 1966 ; le paradoxe de l'automobile et du garage, intitulé The pole and barn paradox, est analysé en page 70.

Relativité de la simultanéité

La modification de la valeur des durées entre deux événements lors du passage d'un référentiel à l'autre a souvent été exploitée dans les premières présentations de la théorie de la relativité, notamment par Einstein. En particulier la relativité limite la notion de simultanéité à l'intérieur d'un référentiel galiléen. Deux événements simultanés dans \mathbb, en deux points différents de \mathbb, ne sont plus simultanés dans un autre référentiel en mouvement par rapport à \mathbb. Puisque l'intervalle spatio-temporel au sens de la relativité restreinte entre deux événements est indépendant du repère choisi, on voit que l'intervalle entre deux événements simultanés dans un certain repère est nécessairement du type espace, ce qui signifie que le terme c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 est négatif. Autrement dit de tels événements sont ailleurs l'un de l'autre, c'est-à-dire ne sont pas associés par un lien de cause à effet.

Exemples

Illustration simple

La différence entre les durées mesurées par deux observateurs en mouvement relatif uniforme constitue une source d'étonnement lorsqu'on découvre la relativité restreinte. Un ouvrage de vulgarisation (voir référence) donne une idée simple sur ce problème. L'auteur considère une montre à photons dans laquelle un grain de lumière effectuerait, à la vitesse c de la lumière, des allers-retours entre deux miroirs. center Si cette montre est fixe par rapport à l'observateur, la durée d'un aller-retour 2
t ' est égale au quotient du trajet effectué par la lumière. Au contraire, si la montre se déplace perpendiculairement au trajet du photon, celui-ci suit le mouvement de la montre et le segment est remplacé par une ligne brisée plus longue que lui. La célérité de la lumière restant la même, la durée 2t du parcours est supérieure à 2t ' : la montre en mouvement retarde. La longueur de l'hypothénuse du triangle rectangle ABH de la figure est ct, celle de la hauteur est ct ' et celle de la base est vt si on note v la vitesse de translation de la montre dans le repère « fixe ». On a donc (théorème de Pythagore) : : c^2t^2 \, =\, c^2t'^2 + v^2 t^2\, , d'où on tire immédiatement :t = t'\over\sqrt La célérité de la lumière étant de  km/s, considérons un avion volant à 0, 3 km/s (soit 1000 km/h). Sa vitesse est le millionième de celle de la lumière et l'erreur commise en utilisant l'approximation galiléenne est inférieure à un millionième de millionième (soit 10), tout à fait négligeable dans la pratique courante. Cependant pour des mesures très précises de temps de trajets utilisées dans les expériences spatiales et aussi par le GPS, il faut impérativement tenir compte des corrections relativistes (à la fois celles de la relativité restreinte et de la relativité générale d'ailleurs). Pour un corps se déplaçant à une vitesse égale au dixième de celle de la lumière, l'effet relativiste est de l'ordre de un pour cent. Ainsi les effets relativistes ne deviennent significatifs que pour des vitesses proches de la célérité de la lumière, impossibles à atteindre en pratique. C'est une des raisons pour lesquelles nous avons des difficultés à appréhender le fonctionnement de la relativité restreinte.

L'intervalle d'espace-temps entre deux événements

La théorie relativiste peut donner l'impression (ne serait-ce que par son nom) de rendre les choses totalement dépendantes de la façon de les mesurer. Les premiers paragraphes de cet article sur la relativité des longueurs et des durées illustrent cette opinion et pourraient l'appuyer. Pourtant ce point de vue est erroné car plus profondément la relativité restreinte s'attache au contraire à dégager ce qui est invariant par changement de coordonnées. Dans cette optique l'invariance de l’intervalle d'espace-temps entre deux événements est un élément fondateur de la théorie relativisteOn peut consulter à ce propos le lien externe , qui présente la théorie relativiste sous une forme ludique en se basant sur la propriété d'invariance de l'intervalle spatio-temporel. Dans un référentiel, un événement est caractérisé par ses coordonnées spatio-temporelles : « tel endroit, tel instant ». Deux événements situés respectivement en x1,
y1, z1, t1 et en x2 y2, z2, t2 sont séparés par un intervalle d'espace-temps dont le carré est :(\Delta s_)^=-c^(t_-t_)^ + (x_-x_)^+(y_-y_)^+(z_-z_)^\, . Nous écrirons plus simplement Bloc emphase|texte=\Delta s^\, =\, - c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \equiv - c^2 \Delta t^2 +\Delta r^2 Cet intervalle est un invariant relativiste : sa valeur ne dépend pas du référentiel galiléen dans lequel on l'évalue. On peut le vérifier sur les formules de Lorentz (qui ont été faites d'ailleurs pour assurer cette invariance !). Le signe de cet invariant permet de classer deux événements l'un par rapport à l'autre, et ce classement a un caractère absolu.
- Deux événements peuvent être ailleurs l'un par rapport à l'autre. C'est le cas lorsque le carré de l'intervalle d'espace-temps défini ci-dessus est positif. La distance Δ
r est alors « trop grande » par rapport à la durée Δt de sorte qu'aucun signal lumineux ne peut connecter les événements 1 et 2, cela étant vrai dans tous les référentiels. Deux tels événements ne peuvent donc pas être associés par un lien de cause à effet. Cette circonstance se produit notamment pour deux événements qui seraient simultanés dans un certain repère (puisque Δ t = 0, Δ s2 est forcément positif).
- Au contraire si deux événements sont liés par un lien de cause à effet cela signifie que dans un référentiel un signal les a connectés. Par conséquent un signal lumineux, qui se propage plus vite que tout autre signal, peut aussi les connecter. Autrement dit Δ
r est plus petit que cΔt, ce qui entraîne que le carré Δ s2 de l'intervalle est négatif (ou nul si l'interaction entre les deux événements a eu lieu par l'intermédaire d'un photon lumineux). Dans ce dernier cas les deux événements ne peuvent pas être simultanés puisqu'alors nous retomberions dans le cas précédent. Nous constatons, et cela est gage de cohérence logique, que l'on ne peut pas renverser le cours des événements. On ne peut pas inverser un effet et une cause. On ne peut pas notamment remonter le fil du temps et agir sur le passé. Enfin dans le cas limite où dans un référentiel deux événements ont mêmes coordonnées, ils coïncident (l'intervalle d'espace-temps est alors trivialement nul). Cette coïncidence est alors conservée lors d'un changement de référentiel. Cela rend absolue la notion de choc de particules. On remarquera encore que le temps et l'espace jouent des rôles symétriques et qu'il est donc logique de les mesurer de la même façon. C'est le point de vue adopté par la nouvelle définition de la vitesse de la lumière, qui, en étant fixée de manière arbitraire, établit une équivalence de fait entre longueur et temps, en redéfinissant le mètre à partir de la seconde. Concrètement on peut mesurer une distance ou un temps indifféremment en centimètres ou en secondes, selon les besoins. La définition du carré Δ s2 de l'intervalle spatio-temporel adoptée ci-dessus correspond à la « signature » (-, +, +, +) de ce que l'on appelle la métrique de l'espace-tempsLa métrique d'un espace-temps est par définition l'expression de l'intervalle spatio-temporel entre deux événements voisins. Citons l'exemple de la métrique de Schwarzschild ou celle de Friedmann-Lemaître., avec une notation dont la signification est évidente. Selon ce choix,
- l'intervalle tel que : \Delta s^2 > 0 est appelé « intervalle de genre espace » (en les exprimant dans la même unité, la distance est plus grande que la durée).
- l'intervalle tel que : \Delta s^2 < 0 est appelé « intervalle de genre temps » (la durée est plus grande que la distance). Dans ce dernier cas, si on a besoin de prendre la racine carrée de la quantité en question, on pourra tout simplement changer son signe et considérer l'expression c^2 \Delta t^2 - \Delta r^2\, , qui, elle, est positive et dans laquelle on voit bien que c'est le temps qui est en quelque sorte prépondérant (c'est pour cette raison qu'on dit que l'intervalle est du genre temps). Dans la pratique, la définition du carré de l'intervalle spatio-temporel n'est pas fixée et correspond soit à la signature (-, +, +, +) soit à (+, -, -, -) et il faut s'en référer au contexte pour savoir dans quel cas le rédacteur s'est placé. Une définition d'une grande importance liée à l'invariance de cet intervalle d'espace-temps est celle de temps propre d'un certain mobile. Plaçons-nous par exemple à l'intérieur d'une fusée se déplaçant par rapport à la Terre à la vitesse v, ce qui signifie que l'abscisse de la fusée est donnée par :x\, =\, v t dans le repère terrestre. Mais si nous considérons une horloge interne à la fusée, sa position ne change pas par rapport à cette fusée et le carré de l'intervalle d'espace-temps se réduit à sa composante temporelle que nous noterons \Delta\tau^2\, . Comme l'intervalle d'espace-temps est indépendant du repère dans lequel on le mesure, on a :c^2\Delta\tau^2 \, = \, c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 = c^2\Delta t'^2 - \Delta x'^2 = ... où (
t ', x ') sont les coordonnées dans un autre repère. Le temps \tau\, défini par la relation Bloc emphase|texte=c^2 \Delta \tau^\, =\, c^2 \Delta t^2 - \Delta r^2 est appelé le temps propre du mobile (ou particule) considéré.

Diagramme d'espace-temps

Trajectoires de particules dans l'espace seul Trajectoires des mêmes particules dans l'espace-temps En mécanique newtonienne, l'espace est séparé du temps et on étudie le mouvement d'une particule en fonction d'un temps absolu. Graphiquement on représente la trajectoire dans l'espace (mais pas dans le temps !). Par exemple on trace l'ellipse que décrit une planète autour du Soleil selon les lois de Képler. La figure ci-contre montre le trajet spatial effectué par un certain nombre de particules A, B, C, D, E, etc. animées d'une vitesse constante pendant le même laps de temps, disons une seconde, trajet proportionnel à la vitesse du mobile. Dans le cas général on peut tracer la trajectoire d'un point M (
x,  y,  z) dans un repère cartésien à trois dimensions. En relativité restreinte on suit des événements dans un espace à 4 dimensions, trois d'espace et une de temps, et par conséquent il est impossible dans le cas le plus général de visualiser la courbe représentant la succession d'événements traduisant le déplacement de la particule à la fois dans le temps et dans l'espace. Cette courbe est appelée ligne d'univers de la particule. Pour lever la difficulté de la représentation de 4 dimensions on se limite souvent à 2 dimensions, une d'espace et une de temps. Autrement dit on considère des mouvements seulement le long de l'axe des x, les coordonnées y et z restant inchangées. Ne restent alors que les variables x et t, lesquelles permettent de tracer dans un repère cartésien à deux dimensions la trajectoire d'une particule dans l'espace-temps : sa ligne d'univers. Les deux figures ci-contre illustrent le passage du point de vue newtonien au point de vue relativiste. En haut on a porté l'espace parcouru en 1 seconde par diverses particules de vitesse constante. Tandis que A reste au même point, B se déplace d'une certaine quantité, C va plus vite et va plus loin, D encore plus tandis que E se déplace dans l'autre sens. Dans la figure du bas, on a porté dans un diagramme spatio-temporel la succession des événements constituant le mouvement de la particule. Puisque la vitesse des particules est constante, leur abcisse est évidemment x = v t de sorte que leur ligne d'univers est une droite. La pente de celle-ci est proportionnelle à la vitesse v. La chose remarquable est que la ligne d'univers de la particule au repos n'est plus un seul point mais le segment de droite OA. En effet, si la particule ne bouge pas (x = constante) le temps continue à s'écouler pendant la période considérée ! Diagramme d'espace-temps Si un segment de droite représente dans ce diagramme un mouvement à vitesse constante, dans le cas général c'est une courbe quelconque qui traduira le mouvement d'une particule. À titre d'exemple considérons la ligne d'univers ci-contre représentant un mobile partant de l'abscisse x = 0 et y revenant un temps T plus tard, temps mesuré disons sur Terre. Il pourra s'agir d'une fusée effectuant un voyage aller-retour intersidéral et nous continuerons à raisonner sur cet exemple. Le segment de droite entre « départ » et « arrivée » le long de l'axe temporel représente la ligne d'univers de la Terre, dont la coordonnée temporelle, égale à 0, ne varie pas. La ligne courbe représente la suite d'événements constituant le voyage de la fusée. La coordonnée curviligne permettant de repérer un point sur cette courbe est le temps propre de la fusée, celui que mesure l'horloge embarquée. Les formules relativistes montrent que le temps propre le long du trajet curviligne est plus court que le temps propre le long du trajet rectiligne (ici celui qui représente le temps terrestre). Ce phénomène est le fondement du paradoxe des jumeaux. L'un des frères fait un aller-retour à une vitesse proche de la lumière (ce qui est d'ailleurs impossible à réaliser, mais il s'agit d'une expérience imaginaire) tandis que son frère reste à Terre. Au retour le voyageur se retrouve plus jeune que son frère. Ainsi, tandis qu'en géométrie euclidienne (x,  y) le chemin le plus court entre deux points A et B est la ligne droite, en géométrie lorentzienne (x,  t) l'intervalle temporel entre deux événement A et B est maximum pour la particule se déplaçant le long du trajet rectiligne AB. Le voyage le plus long est celui qui correspond au trajet rectiligne AB dans le diagramme espace-temps. Dans le cas présent cette trajectoire est celle que suit un mobile libre de toute force et avançant donc à vitesse constante. Cette propriété est tellement capitale qu'elle a permis à et Wheeler de fonder une présentation simple de la relativité généraleE.F. Taylor & J.A. Wheeler, Exploring Black Holes, Introduction to General Relativity, Addison Wesley Longman, 2000 ; les auteurs se basent sur le principe selon lequel un mobile libre de toute force se déplace le long du chemin rendant maximale la durée propre du trajet. Ils l'appellent en anglais le Principle of Extremal Aging. en étendant le principe de maximisation du temps de parcours au mouvement libre d'une particule dans un champ de gravitation (au voisinage d'un trou noir ou du Soleil par exemple).

Loi de composition des vitesses

Dans une fusée se déplaçant à la vitesse v\, par rapport à la Terre on tire un boulet de canon vers l'avant à la vitesse w'\, mesurée dans la fusée. Quelle est la vitesse w\, du boulet mesurée sur Terre ? En cinématique galiléenne les vitesses s'ajoutent et on aurait : w = w' + v\, . En cinématique relativiste la loi de composition des vitesses est différente. Dans la fusée la distance Δ
x ’ parcourue par le boulet pendant le temps Δt’ est :\Delta x'\, = \, w' \Delta t' En utilisant les formules de Lorentz : \begin \Delta x \, =\, \gamma (\Delta x' + v\Delta t')\\ \Delta t \, =\, \gamma \end et en remplaçant Δx ’ par sa valeur on trouve facilement la vitesse du boulet dans le repère terrestre sous la forme : :w \, =\, \frac\Delta x\Delta t = \frac\gamma(w'\Delta t' + v\Delta t')\gamma\, , soit Bloc emphase|texte=w \, =\, \frac\, . Cette relation montre que
- la loi de composition des vitesses en relativité restreinte n'est plus une loi additive
- la vitesse c est une vitesse limite quel que soit le référentiel considéré (quand on lui ajoute une vitesse, on retombe sur c). Il existe cependant un paramétrage permettant d'obtenir une loi additive. Il suffit pour cela de passer de la vitesse v au paramètre angulaire de vitesse θ introduit précédemment. Montrons que dans une composition de vitesses les paramètres angulaires de vitesse s'ajoutent. En posant :\theta \, =\, \mathrm (v/c) :\alpha' \, =\, \mathrm (w'/c) :\alpha \, =\, \mathrm (w/c) et en utilisant la formule d'addition des fonctions hyperboliques :\tanh(\theta + \alpha') = \frac\tanh \theta+ \tanh \alpha'1 + \tanh \theta \, \tanh \alpha' on trouve immédiatement que Bloc emphase|texte=\alpha \, =\, \alpha' + \theta Autrement dit le paramètre angulaire de vitesse du boulet par rapport à la Terre est la
somme du paramètre angulaire de vitesse du boulet par rapport à la fusée et du paramètre angulaire de vitesse de la fusée par rapport à la Terre. On ne peut imaginer plus simple ! Avec ce formalisme, le paramètre angulaire correspondant à la vitesse c est infini (puisque atanh(x ), l'argument tangente hyperbolique de x, tend vers l'infini lorsque x tend vers 1) et par conséquent reste infini quelle que soit la quantité qu'on lui rajoute. On retrouve donc le fait que c est une vitesse limite (par ailleurs impossible à atteindre pour une particule matérielle) indépendante du repère choisi. Seules les particules de masse nulle, comme le photon, peuvent se déplacer à la vitesse de la lumière. Cette propriété remarquable d'additivité du paramètre angulaire de vitesse est exploité dans la détermination des équations d'une fusée accélérée. Voici une application numérique (les vitesses indiquées sont irréalisables d'un point de vue pratique !). Imaginons qu'un obus soit tiré avec la vitesse w'  = 0, 75c dans le repère d'une fusée se déplaçant elle-même à la vitesse v = 0, 75c par rapport à la Terre. Quelle est la vitesse du boulet mesurée sur Terre ? Clairement la valeur 1, 5c que nous donnerait la formule galiléenne est fausse puisque la vitesse obtenue dépasserait celle de la lumière. Les formules relativistes nous invitent à procéder comme suit. L'angle paramétrique de vitesse de l'obus par rapport à la fusée est \alpha' = \mathrm(0, 75) = 0, 973\, . L'angle paramétrique de la vitesse de la fusée par rapport à la Terre a la même valeur \theta = 0, 973\, . Le paramètre angulaire de vitesse de l'obus par rapport à la Terre est donc \alpha\, =\, 0, 973 + 0, 973\, =\, 1, 946, ce qui correspond à la vitesse w = c \, \tanh (1, 946) = 0, 96\, c\, . En relativité restreinte 0, 75 + 0, 75 = 0, 96, si on peut s'exprimer ainsi ! On peut évidemment retrouver ce résultat directement sur la formule donnant w en fonction de w ’ et v.

Le quadrivecteur vitesse

En mécanique newtonienne on étudie le mouvement d'un mobile en suivant sa position \vec en fonction du temps t, ce temps étant supposé de caractère absolu, indépendant de l'horloge qui le mesure. En relativité on abandonne cette vision des choses pour considérer le mouvement d'une particule comme une succession d'événements \mathcal, la courbe décrite par cet événement dans un espace à quatre dimensions (trois pour l'espace, une pour le temps) prenant alors le nom de « ligne d'univers ». De même qu'en mécanique classique on définit la vitesse d'une particule en prenant la dérivée :v \, =\, d\vec/dt de la position par rapport au temps, de même en mécanique relativiste on définit le vecteur vitesse à quatre dimensions (ou quadrivecteur vitesse) :\mathbf\, =\, d\mathcal/d\tau où \tau\, est le temps propre de la particule, défini plus haut. En explicitant les composantes de ce quadrivecteur dans un repère donné on peut écrire :\mathbf = \left(c \fracd\tau, \fracd\tau, \fracd\tau, \fracd\tau\right)\, , expression dans laquelle nous avons introduit le facteur c pour travailler avec des coordonnées homogènes. Il existe une relation simple, et importante, relative à ce quadrivecteur. La définition du carré de l'intervalle d'espace-temps défini ci-dessus peut se généraliser à tout quadrivecteur. On définira ainsi le carré de la norme d'un quadrivecteur comme la différence entre le carré de sa partie temporelle et celui de sa partie spatiale. Et le résultat capital est que cette norme est invariante par transformation de Lorentz. Autrement dit elle ne dépend pas du repère choisi. Dans le cas de la vitesse ce résultat prend une forme particulièrement simple. En effet, dans le repère propre de la particule, la partie spatiale du quadrivecteur vitesse est nulle tandis que la partie temporelle vaut tout simplement c (d
t/dτ = 1 puisque le temps t est précisément le temps τ tel qu'il est mesuré dans le repère du mobile). Autrement dit dans le repère propre d'une particule, le quadrivecteur vitesse a pour composantes (c, 0, 0, 0). Par conséquent dans tout repère galiléen on aura la relation Bloc emphase|texte= (partie temporelle de \mathbf)2 -  (partie spatiale de \mathbf)2 = c2 . C'est l'invariance de cette norme qui permet de parler du quadrivecteur d'une particule indépendamment de tout système de coordonnées.

Le quadrivecteur énergie-impulsion

On peut poursuivre le raisonnement. De même que l'impulsion classique d'une particule était le produit « \vec = m\vec » de la masse par la vitesse, de même le produit « m\mathbf » du quadrivecteur vitesse « \mathbf » par la masse « m » de la particule devient un quadrivecteur impulsion. On l'appelle souvent vecteur « énergie-impulsion », en exprimant ainsi le fait que énergie et impulsion sont réunies en un concept physique de manière indissociable, de la même façon que l'espace et le temps composent l'espace-temps. En effet si les composantes spatiales de ce quadrivecteur s'identifient de façon évidente à celles d'une impulsion classique, les physiciens ont été conduits par Einstein à identifier la composante temporelle de ce quadrivecteur avec l’énergie de la particule considérée. Bien que les raisons de ce choix soient multiples, il n'est pas si facile d'en donner une véritable démonstration, mais cette situation est tout à fait courante en physique voir La Science et l'hypothèse de Henri Poincaré, les hypothèses naissant en même temps que la théorie se développe et que les confirmations expérimentales se succèdent. En vérité les dizaines de milliers de confirmations expérimentales quotidiennes de la théorie ainsi imaginée sont un gage suffisant de la justesse des hypothèses qui en constituent le fondement. Dans un repère d'inertie (par exemple le repère terrestre en première approximation, nommé ci-après repère du laboratoire) les coordonnées des événements liés à la particule suivie sont (
t, x, y, z) et les composantes dans ce repère du quadrivecteur énergie-impulsion du mobile sont :\mathbf=m\mathbf \, =\, (E/c, p_x, p_y, p_z) avec :E/c = mc \fracd\tau\qquad p_x = m\fracd\tau \qquad p_y =m\fracd\tau \qquad p_z=m\fracd\tau\, . En tenant compte de la relation donnant le rapport entre le temps propre (t ’ de la fusée, ou τ de la particule en mouvement), on a :dt\, =\, \gamma d\tau et on aboutit donc à l'expression de l'énergie totale de la particule dans le repère du laboratoire, celui par rapport auquel la particule est animée de la vitesse \vec (car l'énergie dépend du référentiel dans lequel on la calcule !) sous la forme Bloc emphase|texte= E = \frac\sqrt D'autre part comme les composantes de la vitesse de la particule dans le repère du laboratoire sont :v_x=dx/dt\qquad v_y=dy/dt\qquad v_z=dz/dt et en tenant compte du facteur de dilatation du temps entre dt et d\tau, on arrive à l'autre formule importante fournissant la valeur de l'impulsion dans le repère du laboratoire Bloc emphase|texte= p\, =\, \frac\sqrt Aux faibles vitesses (c'est-à-dire petites devant celle de la lumière) on obtient :E \, =\, mc^2 + (1/2) m v^2\, , formule montrant que l'énergie de la particule est la somme d'une énergie au repos m c2 inconnue de la mécanique newtonienne et de l'énergie cinétique classique (1/2)m v2. En relativité restreinte, l'énergie totale d'une particule reste égale à la somme de l'énergie au repos m c2 contenue dans sa masse et de l'énergie cinétique K. En tenant compte de l'expression relativiste de l'énergie, on voit que l'énergie cinétique d'une particule est donnée par l'expression : : \mathrm\acute Energie~cin\acute etique\, = \, K\, = E - m c^2 \, =\, m c^2\left( \frac\sqrt - 1\right)\, . Pour les vitesses très proches de celle de la lumière, c'est la quantité 1 -β =  qui compte. On a : :1 - \beta^2 = (1 + \beta)(1-\beta) \simeq 2(1-\beta) de sorte que l'énergie totale s'écrit :E \simeq pc = \frac\sqrt2(1-\beta)\equiv \frac\sqrt\, .

Équivalence de l'énergie et de la masse au repos

Le quadrivecteur énergie-impulsion présente la caractéristique d'avoir sa norme, ou son carré scalaire (au sens du carré d'intervalle d'espace-temps), invariante lors d'un changement de référentiel. En bref la quantité :E^2/c^2\, -\, p^2\qquad \text \qquad p^2\, =\, (p_x^2 + p_y^2 +p_z^2) est indépendante du référentiel dans lequel elle est calculée. Or dans le repère de la particule la vitesse est nulle, de même que l'impulsion, de sorte que la norme de cette quantité invariante vaut (m c)2. Dans n'importe quel repère on a donc la relation capitale suivante :E^2/c^2 - p^2\, =\, (m c)^2 ou encore Bloc emphase|texte= E^2 - p^2c^2 \, =\, m^2 c^4 (Les facteurs c qui s'introduisent dans ces formules assurent leur homogénéité, p a la grandeur de m v, E celle de m v 2.) On peut démontrer directement cette formule à partir de celles écrites ci-dessus donnant l'énergie et l'impulsion. On peut faire plusieurs observations :
-La valeur de l'énergie totale de la particule dépend du référentiel de l'observateur. Cependant, la valeur de l'énergie de masse est identique dans tous les référentiels, et en particulier dans le référentiel propre de la particule. C'est donc une caractéristique intrinsèque de la particule.
-Lorsque v tend vers c, \gamma tend vers l'infini, ce qui signifie qu'il faut une énergie infinie pour accélérer une particule jusqu'à atteindre la vitesse de la lumière. Cela est évidemment impossible. On arrive cependant à accélérer des particules à des vitesses très proches de c.
-La relativité restreinte apparaît dans tous les phénomènes physiques, même là où les vitesses intervenant ne sont pas relativistes. Un exemple flagrant est le défaut de masse de l'atome le plus simple : la masse de l'atome d'hydrogène H_^ est inférieure à la somme des masses de l'électron et du proton d'une quantité juste égale à l'équivalent en masse de l'énergie d'ionisation de l'atome. L’équivalence de la masse et de l'énergie est donnée par la célèbre E=mc². Poser cette équivalence fut un pas révolutionnaire, car les concepts de matière et d'énergie étaient distincts jusque-là, bien que certains scientifiques, comme Poincaré et Lorentz, eussent indépendamment tenté le rapprochement dans le domaine de l'électromagnétisme. De nos jours, il ne faut pas non plus surestimer cette équivalence, car tandis que la masse est la norme du quadrivecteur énergie-impulsion, l'énergie n'est que l'une des composantes de ce quadrivecteur. La masse donnée par :m^2\, =\, (E^2 - p^2c^2)/c^4 est invariante par changement de repère (elle est la même dans tout repère). L'énergie au contraire dépend du repère choisi, c'est évident puisque la vitesse changeant, l'énergie cinétique change aussi.

Vitesse des particules de masse nulle

Les relations ci-dessus fournissent des résultats importants. Les expressions donnant E et p en fonction de m et v conduisent immédiatement à la formule :p\, =\, (v/c)(E/c) Si la vitesse de la particule est égale à la vitesse de la lumière, alors p=E/c en calculant E^2 - p^2c^2 on voit que la masse de la particule est forcément nulle. En sens inverse, si la masse de la particule est nulle, alors p=E/c et par conséquent v=c. Nous aboutissons donc à la conclusion double importante selon laquelle les particules matérielles ne peuvent pas atteindre la vitesse de la lumière et que seules des particules sans masse se déplacent à la vitesse de la lumière. L'ensemble est parfaitement cohérent : tout mécanisme de propagation d'énergie à la vitesse de la lumière correspond à une quantité de mouvement p égale à l'énergie et donc à une « masse au repos » nulle. En sens inverse, une particule de masse nulle se déplace forcément à la vitesse de la lumière.

Dilatation du temps des rayons cosmiques et des muons

On détecte en astronomie des particules porteuses d'une énergie colossale : les rayons cosmiques. Bien que leur mécanisme de production demeure encore mystérieux, on peut mesurer leur énergie. Les nombres considérables que l'on obtient montrent que leur analyse exige l'emploi des formules de la relativité resteinte. Les rayons cosmiques fournissent donc une illustration idéale de la théorie d'Einstein. On détecte des particules jusqu'à des énergies invraisemblables de l'ordre de 10 électron-volts, soit cent millions de TeV. Supposons donc qu'un rayon cosmique soit un proton de 10 eV. Quelle est la vitesse de cette particule ? Dans l'expression donnant l'énergie E, le terme m c2 représente l'énergie de la masse au repos de la particule. Celle du proton est d'environ 1 GeV, soit 10 eV. Le rapport entre E et m c2 est donc égal à 10/10=10 et n'est autre que le fameux facteur d'étirement du temps \gamma=^. Quelle est la vitesse de ce proton ? En écrivant 1 - (v/c)^2=\simeq 2 on trouve que :1 -(v/c) = 0, 5\times 10^ . Autrement dit la vitesse du proton considéré est quasiment égale à la vitesse de la lumière. Elle n'en diffère que par moins de 10 (mais ne peut en aucun cas l'égaler). Voyons ce que ces chiffres impliquent pour les facteurs relativistes existant entre le repère propre de la particule et le repère terrestre. Notre propre Galaxie est traversée par la lumière en quelque cent milliers d'années de lumière. Par conséquent pour un observateur terrestre le proton traverse cette Galaxie dans le même temps, environ 100 000 ans. L'extraordinaire c'est que dans le repère du proton relativiste, le temps correspondant est 10 fois plus faible, et vaut donc 30 secondes (une année fait 3×10 secondes) ! :
Notre proton ultra-relativiste et ultra-énergétique traverse notre Galaxie en 30 secondes de temps propre mais en ans de notre temps terrestre. Cascade de particules atmosphériques déclenchée par un proton incident Lorsque ce rayon cosmique heurte un atome d'oxygène ou d'azote de l'atmosphère terrestre à une altitude de l'ordre de 20 à 50 kilomètres au-dessus du sol, une gerbe de particules élémentaires se déclenche contenant, en particulier des muons. Une partie d'entre eux se dirigent vers le sol avec une vitesse pratiquement égale à celle de la lumière, de kilomètres par seconde dans le repère terrestre. Ces particules traversent donc les quelque 30 kilomètres d'atmosphère en 10 seconde (ou 100 microsecondes). Dans le repère où il est au repos, un muon a une demi-vie de 2 μs (2 microsecondes, ou 2×10 s). Cela signifie que parmi un ensemble de muons produits au sommet de l'atmosphère, la moitié auront disparu au bout de 2 microsecondes, transformés en d'autres particules. Une moitié des muons restants disparaîtra au bout d'encore 2 microsecondes et ainsi de suite. Si la demi-vie était la même (2 microsecondes) dans le repère terrestre, en 10 seconde de traversée de l'atmosphère les muons auraient compté 10 / 2×10 = 50 demi-vies. Par conséquent leur nombre serait réduit à l'arrivée au sol par un facteur de (1/2)soit environ 10 de sorte qu'en pratique aucun muon ne l'atteindrait. Or les mesures indiquent qu'environ 1/8, soit (1/2), des muons initiaux parviennent à la surface terrestre, ce qui prouve qu'ils n'ont subi que 3 divisions de leur nombre par 2 et non 15. Autrement dit le temps de traversée de l'atmosphère dans leur repère propre est de 3 demi-vies et non 50, soit 6 microsecondes seulement (et non 100 microsecondes). Ce résultat constitue une preuve forte de la justesse de la relativité restreinte et notamment du phénomène d'étirement du temps propre (ici celui du muon) lorsqu'on effectue les mesures dans un repère extérieur (ici celui de la Terre). Dans l'exemple numérique choisi le facteur de dilatation du temps \gamma = ^ est de 100/6. On peut en déduire la vitesse et l'énergie des muons. En effet, on a comme dans le calcul précédent :1 - (v/c)^2\, =\, 2\times\, =\, (6/100)^2\, , ce qui conduit à :1 - (v/c) \simeq 2\times10^\ . Comme la masse d'un muon est d'environ 100 MeV, l'énergie de la particule est 100/6 fois plus grande, soit d'environ 2000 MeV ou 2 GeV.

Conservation du quadrivecteur énergie-impulsion d'un système isolé

La grande force de la théorie d'Einstein est de permettre au physicien de raisonner sur des quantités de caractère géométrique ayant une réalité transcendant le langage des coordonnées. Ainsi du quadrivecteur énergie-impulsion dont on peut parler indépendamment de sa représentation en terme de coordonnées. Ce vecteur à quatre dimensions nous procure l'outil de choix pour traiter la mécanique relativiste et notamment les problèmes d'interaction et de transformation de particules. L'analyse d'une collision entre une particule A et une particule B (ou plus généralement de collisions entre particules d'un système donné) repose sur le principe suivant, indépendamment des détails de l'expérience : Autrement dit on peut écrire : Bloc emphase|texte=\Sigma_\text \ \mathbf_\text = \Sigma_\text \ \mathbf_\text \, . Pour analyser une expérience, le physicien doit procéder à des mesures et donc traduire cette loi de façon à utiliser les quantités mesurables que sont les coordonnées du quadrivecteur dans le repère de son choix. Puisque le quadrivecteur est conservé, chacune de ses composantes dans un système de référence donné (rappelons que la valeur elle-même des composantes dépend du système choisi) est également conservée dans les collisions. La composante temporelle représentant l'énergie E du système et la composante spatiale représentant son impulsion \vec, on aboutit donc à deux lois de conservation, l'une pour l'énergie, l'autre pour la quantité de mouvement (ou impulsion). Par souci de clarté, énonçons ces lois dans le cas de deux particules A et B subissant une collision (on peut immédiatement généraliser à un système de plusieurs particules).
-L'énergie totale du système est conservée dans une collision :Autrement dit la somme de l'énergie de A et de l'énergie de B avant la collision est égale à la somme de l'énergie de A et de l'énergie de B après la collision. :On peut formuler cette loi de la façon suivante ::E_1(A) + E_1(B) \, = \, E_2(A) + E_2(B)
-La quantité de mouvement totale du système est conservée dans une collision :Autrement dit la somme des quantités de mouvement de la particule A et de la particule B avant la collision est égale à la somme des quantités de mouvement de la particule A et de la particule B après la collision. :Le long de chacun des trois axes on aura donc ::(p_x)_1(A) + (p_x)_1(B)\, =\, (p_x)_2(A) + (p_x)_2(B) ::(p_y)_1(A) + (p_y)_1(B)\, =\, (p_y)_2(A) + (p_y)_2(B) ::(p_z)_1(A) + (p_z)_1(B)\, =\, (p_z)_2(A) + (p_z)_2(B) Conservation du quadrivecteur énergie-impulsion dans une collision Un exemple (académique) de collision est représenté dans la figure ci-contre. Une particule A de masse 8 (en unités arbitraires) animée d'une vitesse v/c de 15/17 dirigée vers la droite frappe une particule de masse 12 arrivant en sens inverse avec une vitesse v/c de 5/13 (les chiffres ont été choisisE.F. Taylor, J.A. Wheeler, Spacetime physics, Introduction to special relativity, second edition, Freeman, 1992, p 207 pour que les calculs "tombent juste"). Après la collision, A rebondit dans l'autre sens en ayant communiqué à B une partie de sa quantité de mouvement. L'énergie totale, somme des énergies des particules A et B est conservée, de même que la quantité de mouvement totale. Les grandeurs E et p indiquées représentent en réalité (E/c2) et (p/c) et sont exprimées en unités de masse, arbitraires. Avec ces grandeurs on a la relation E 2 = 
p 2 + m 2. Le facteur γ est toujours défini par γ = -1/2.

Collision élastique

Dans un accélérateur de particules il arrive qu'un électron de très haute énergie heurte un électron au repos et communique à ce dernier une partie de son énergie cinétique. Si les seuls échanges d'énergie concernent précisément cette énergie cinétique, on dit que le choc est élastique. Les formules traduisant la conservation du quadrivecteur du système formé par ces deux électrons permet d'analyser la collision. En mécanique newtonienne les deux électrons après le choc ont des directions formant un angle droit. Nous allons montrer qu'en mécanique relativiste il n'en est plus ainsi et que les vitesses des électrons forment un angle aigu. Ce phénomène est parfaitement visible sur les enregistrements de collisions effectués dans des chambres à bulles. Collision élastique entre deux particules de même masse Considérons un électron de masse m et d'énergie très élevée frappant un autre électron intialement au repos. Les vecteurs impulsions des deux particules sont tracés sur la figure ci-contre. Avant le choc l'impulsion de l'électron incident est \vec. Après le choc, les impulsions des deux électrons sont \vec_1 et \vec_2. En écrivant l'énergie d'un électron comme la somme de son énergie au repos mc et de son énergie cinétique K, on peut écrire l'énergie totale du système avant la collision comme : :E\, =\, mc^2 + mc^2 + K De même, :E_1\, =\, mc^2 + K_1 :E_2\, =\, mc^2 + K_2\, . La loi de conservation de l'énergie dit que E = E + E et par conséquent :K\, =K_1 + K_2\, , formule indiquant bien que l'énergie cinétique est conservée elle aussi (collision élastique). La loi de conservation de la quantité de mouvement dit que :\vec = \vec_1 + \vec_2\, , et par conséquent si nous appelons θ l'angle entre les deux vecteurs \vec_1 et \vec_2, on a la relation :p^2\, =\, p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1p_2\cos\theta d'où l'on tire :\cos\theta\, =\, \frac\, . En exprimant le carré de l'impulsion des différents électrons en fonction de leur énergie et de leur masse à l'aide des formules indiquées ci-dessus on obtient :c^2p^2\, =\, (mc^2 + K)^2 - m^2c^4 = K^2 + 2Kmc^2 pour l'électron incident et :c^2p_1^2\, = \, E_1^2 - m^2c^4 = (mc^2 + K_1)^2 - m^2c^4= K_1^2 + 2K_1mc^2 :c^2p_2^2\, = \, E_2^2 - m^2c^4 = (mc^2 + K_2)^2 - m^2c^4= K_2^2 + 2K_2mc^2 pour les électrons après le choc. Comme K = K + K on aboutit facilement à la formule finalement simple :\cos\theta\, =\, \frac\equiv \left(1 + \frac\right)^\left(1 + \frac\right)^ Cette formule montre que cos 
θ est positif et donc que les directions des électrons de l'état final font entre elles un angle aigu. On trouve facilement dans la littératurevoir par exemple E.F. Taylor, J.A.Wheeler, Spacetime physics, Introduction to special relativity, second edition, Freeman, 1992, p 240 le traitement du cas où le choc est symétrique, les deux électrons possédant chacun la même énergie K = K = K/2. Dans cette situation particulière la formule générale devient :\cos\theta=\frac       pour une collision symétrique.
-Dans la limite newtonienne des faibles vitesses, les énergies cinétiques sont beaucoup plus petites que l'énergie au repos mc et par conséquent :\cos\theta\simeq \frac\sqrt :tend vers zéro, ce qui signifie que l'angle θ tend vers π /2. C'est le résultat non relativiste.
-Dans la limite au contraire des très hautes énergies, ce sont les termes d'énergie cinétique qui sont beaucoup plus grands que le terme mc et par conséquent :\cos\theta \simeq 1 - \frac- \frac\, . :Dans ce cas le cosinus tend vers 1, ce qui signifie que l'angle entre les vitesses des électrons tend vers zéro. Cela implique un comportement complètement différent du cas newtonien. Les formules s'appliquent évidemment au cas de la collision entre deux protons.

Diffusion Compton

Une application physique des formules de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement d'un système de particules est fournie par l'analyse de la collision entre un photon de haute énergie et un électron au repos, choc constituant ce que l'on appelle la Diffusion Compton.

Masse d'un système de particules

En relativité restreinte si les énergies sont additives, si les impulsions sont additives, les masses ne le sont pas. La physique dans l'espace-temps à quatre dimensions d'Einstein dote la matière de nouvelles caractéristiques que la physique newtonienne ne pouvait pas envisager. Ainsi par exemple les formules de la relativité restreinte indiquent que la masse totale d'un système de particules est supérieure à la somme des masses au repos des particules individuelles. Si l'on considère un ensemble donné de particules, sans interaction entre elles, hors le moment des chocs, le quadrivecteur énergie-impulsion d'un système de particules, isolé de toute action extérieure, est la somme des énergies-impulsions individuelles, ce que l'on peut écrire : :\mathbf_\mathrmsyst\grave eme = \Sigma_\text\, \mathbf_\text Si on veut effectuer des applications numériques, on traduira cette équation en termes des composantes énergie E et impulsion \vec : :E_\mathrmsyst\grave eme = \Sigma_\text\, E_\text :\vec_\mathrmsyst\grave eme = \Sigma_\text\, \vec_\text\, . Redisons bien que la valeur de ces composantes dépend du repère choisi. Les formules permettant de passer des coordonnées d'un repère \mathbb à celle d'un autre repère \mathbb' animé d'une vitesse v = 
βc par rapport au premier le long de l'axe Ox sont les formules de Lorentz déjà vues. Elles s'écrivent ici sous la forme : :\begin E/c= \gamma (E'/c + \beta p'_x)\\ p_x = \gamma (\beta E'/c + p'_x)\\ p_y = p'_y\\ p_z = p'_z \end pour n'importe quel quadrivecteur énergie-impulsion (E/c, \vec). La propriété capitale des quadrivecteurs de la relativité et des transformations de Lorentz réside dans l'invariance de la « norme » du quadrivecteur dans un changement de coordonnées, cette norme traduisant donc une propriété intrinsèque au système étudié, indépendante du moyen de repérage. Dans le cas du quadrivecteur énergie-impulsion, cette norme est égale à la masse M du système (comme dans le cas d'une particule) et son carré est donné par la formule : :M^2_\mathrmsyst\grave eme= (1/c^2)\, . (On retrouve facilement les facteurs c à introduire, avec leur puissance, en sachant que p est homogène à mc et E homogène à mc.) Pour évaluer cette masse, on peut se placer dans n'importe quel repère, puisqu'elle ne dépend pas du choix de ce dernier. Il est commode de choisir le repère dans lequel l'impulsion totale du système est nulle, celui donc pour lequel :\vec=0\, . Dès lors on obtient :M^2_\mathrmsyst\grave eme = (1/c^2)(E_\mathrmsyst\grave eme/c)^2 \equiv (1/c^4)\left(\Sigma_jE_j\right)^2\, , soit :M_\mathrmsyst\grave eme = (1/c^2)\Sigma_jE_j\, . En tenant compte du fait que l'énergie E de chaque particule j (dans le repère considéré) est la somme de l'énergie m c correspondant à sa masse au repos m et de son énergie cinétique K (toujours dans le repère considéré), on peut encore écrire : :M_\mathrmsyst\grave eme = \Sigma_jm_j + (\Sigma_jK_j/c^2)\, . Cette dernière formule démontre le résultat annoncé : la masse totale d'un système de particules est supérieure à la somme des masses individuelles des particules. La valeur de la masse totale du système ainsi obtenue est indépendante du repère dans lequel on l'évalue (mais pour trouver sa valeur nous avons choisi le repère simple dans lequel la quantité de mouvement totale est nulle). On peut vérifier ce résultat sur l'exemple numérique de la collision à une dimension traitée ci-dessus (on mesure énergie, impulsion et masse dans une unité de masse arbitraire). On avait deux particules A et B respectivement de masse 8 et 12. La masse totale M du système se calcule par la formule M = E - p'', avec E = 30 et p = 10. On trouve par conséquent M =√800 = 28, 28, ce qui est effectivement plus grand que la somme 8+12=20 des masses de A et B.

Conversion de masse en énergie dans le Soleil

La conservation du quadrivecteur énergie-impulsion explique que dans une réaction la masse d'un système puisse ne pas se conserver et se transformer en énergie, en partie ou en totalité. C'est ce qui se passe dans les réactions de fission, de fusion et d'annihilation de particules. Nous allons décrire ici la fusion d'hydrogène en hélium dans le Soleil, une réaction permettant de comprendre comment notre astre bienfaisant dispose d'une source d'énergie l'ayant rendu capable de briller pendant quelque cinq milliards d'années et lui assurant de continuer à le faire pendant une durée comparable. Dans les années 1900 les physiciens étaient confrontés à un mystère de taille, celui du mécanisme permettant au Soleil d'émettre sa lumière. En se basant sur l'épaisseur de strates de roches sédimentaires terrestres les géologues du XIX siècle estimaient l'âge de la Terre à quelques centaines de millions d'années. En proposant sa théorie de l'évolution des espèces, Charles Darwin aboutissait à des chiffres concordants. Cependant des physiciens théoriciens comme William Thomson (Lord Kelvin) affirmaient que le Soleil n'avait pas pu briller depuis beaucoup plus que dix millions d'années. Leur attitude arrogante fut d'ailleurs stigmatisée par d'autres scientifiques, notamment par le géologue Thomas Chamberlin http://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Chrowder_Chamberlin, ce dernier suggérant lors d'un congrès en 1899 http://www.sciencetimeline.net/1866.htm qu'une énergie d'origine encore inconnue pourrait résider au sein de la matière sise au centre du Soleil. Chamberlin avançait en effet que les conditions physiques exceptionnelles régnant dans ces régions de forte température et de forte pression étaient de nature à libérer une énergie de type atomique. L'histoire a confirmé ses intuitions (par ailleurs fondées). Grâce aux travaux de George Gamow, Hans Bethe et Carl Friedrich von Weizsäcker on finira par accéder dans les dernières années 1930 à une connaissance détaillée des réactions ayant permis au Soleil de briller depuis quelque cinq milliards d'années. Ces physiciens ont montré que le Soleil fonctionnait à la façon d'un gigantesque réacteur nucléaire confiné par la gravitation libérant une quantité considérable d'énergie conformément aux équations d'Einstein. Voici les chiffres en jeu. La luminosité solaire, ou quantité d'énergie que l'astre émet par seconde dans tout l'espace, est :L_\odot \simeq 4 \times 10^\;\rm erg\cdot\rm s^. Pour exprimer cette énergie en unités de masse (par exemple en grammes, selon l'habitude des astronomes), il suffit de diviser par c, ce qui donne une masse équivalente M = 4, 4×10 grammes. Par une série de réactions constituant la chaîne proton-proton, possible à une température suffisamment élevée, quatre protons (ou noyaux d'hydrogène) sont transformés dans les régions les plus internes du Soleil en un noyau d'hélium, composé de deux neutrons et deux protons. Un proton ayant une masse de 1, 67262×10 g les quatre protons d'origine ont une masse 4×1, 67262×10 = 6, 69048×10 g. Le noyau d'hélium, ou particule α, a une masse de 6, 64466×10 g. La différence, 0, 04582×10 g, est libérée sous forme de lumière. On remarque que seule une faible partie de la masse utilisée est convertie en énergie. Le rapport de la masse d'hydrogène consommée à la masse réellement transformée est 6, 69048/0, 04582~150. Ainsi pour chaque gramme converti en énergie ce sont 150 grammes d'hydrogène qui sont utilisés. (Inversement cela signifie qu'environ 0, 7 pourcent de la masse initiale d'hydrogène est convertie en énergie.) Par conséquent pour transformer 4, 4×10 grammes par seconde il faudra « brûler » 150 fois plus, soit 6, 6×10 grammes d'hydrogène par seconde. Comme la masse du Soleil est de 2×10 grammes, si toute cette quantité de matière était consommée, le Soleil pourrait fournir son énergie actuelle, au taux actuel, pendant 2×10/ 6, 6×10 = 3×10 secondes. Comme une année vaut environ 3×10 secondes, nous aboutissons à une durée de vie totale de 100 milliards (10) d'années. L'évolution d'une étoile en général, et du Soleil en particulier, est plus compliquée que ce schéma élémentaire de conversion de l'hydrogène en hélium. Tout l'hydrogène n'est pas brûlé en hélium et d'autres réactions de combustion nucléaire interviennent. Au final, quand on considère des modèles stellaires plus élaborés, les théories actuelles prédisent une durée de vie totale de quelque 10 milliards d'années pour une étoile de type solaire. Le Soleil ayant déjà utilisé environ 5 milliards, il lui en resterait à peu près autant à « vivre ». (Mais plus personne ne sera là pour être témoin d'un futur qui dépasse si largement l'échelle temporelle de l'humanité !)

Électromagnétisme et relativité restreinte

Dans l'espace newtonien à trois dimensions, une particule de charge q placée dans un champ électrique \vec et un champ magnétique \vec est soumise à la force de Lorentz et l'équation qui régit son mouvement est : d\vec/dt = \, q \, (\vec E \ + \vec \wedge \vec) \, . Pour transposer cette formule en mécanique relativiste, on devra considérer le quadrivecteur énergie-impulsion \mathbf à la place du vecteur \vec et évaluer le taux de variation de ce quadrivecteur non dans le repère d'un observateur galiléen quelconque mais dans le repère propre de la particule. Le membre de gauche sera donc de la forme d\mathbf/d\tau, où \tau est le temps propre de la particule chargée. À droite on trouvera un objet indépendant du repère choisi et qui en outre sera forcément une fonction linéaire de la vitesse \vec de la particule. En effet la partie spatiale de l'équation de la dynamique est linéaire en \, \vec\, puisqu'elle s'écrit :d\vec/d\tau = \gamma d\vec/dt= \gamma q (\vec E \ + \vec \wedge \vec) = q (u_0 \vec/c + \vec \wedge \vec)\, . Dans cette expression \, u_0\, et \vec sont les composantes dans un repère lorentzien du quadrivecteur vitesse \mathbf\, , lequel peut donc s'écrire : :\mathbf = (u_0, \vec) = \left(\frac\sqrt, \frac\vec\sqrt\right)\equiv (\gamma c, \gamma\vec)\, . De façon explicite l'équation ci-dessus se décompose sur les trois axes de la façon suivante : : \begin dp_x/d\tau = q (u_0 E_x/c +v_y B_z -v_zB_y)\\ dp_y/d\tau = q (u_0 E_y/c +v_z B_x -v_xB_z)\\ dp_z/d\tau = q (u_0 E_z/c +v_x B_y -v_yB_x) \end De son côté la composante temporelle de l'équation de la dynamique (qui correspond à la loi donnant la variation de l'énergie) s'écrit :dp_0/d\tau = \gamma d(W/c)/dt = \gamma q (\vec/c)\cdot\vec\equiv q (\vec/c)\cdot\vec\, , où W est le travail de la force q\vec\, . En rassemblant les équations écrites ci-dessus dans le cadre d'un espace-temps à quatre dimensions, le taux de variation du quadrivecteur énergie-impulsion est donné par : \begin dp_0/d\tau\\dp_x/d\tau\\dp_y/d\tau\\dp_z/d\tau \end = q \begin 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c\\ E_x/c & 0 & B_z & -B_y\\ E_y/c & -B_z & 0 & B_x\\ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end \begin u_0\\u_x\\u_y\\u_z \end L'équation matricielle que nous venons d'écrire montre qu'en relativité restreinte le champ magnétique et le champ électrique constituent une entité unique. En réalité la présentation précédente est quelque peu incorrecte dans la mesure où pour tirer parti de toute la puissance de la théorie relativiste il est nécessaire de faire appel aux tenseurs. L'équation matricielle ci-dessus est la traduction en termes de composantes de l'équation tensorielle, indépendante, elle, de tout système de coordonnées :d\mathbf/d\tau = q \mathbf(\mathbf)\, . \mathbf est le tenseur du champ électromagnétique (ou tenseur de Maxwell ou tenseur de Faraday). C'est cet objet qui représente physiquement le champ électromagnétique. Ses composantes dans un certain système de coordonnées sont données par la matrice écrite ci-dessus.

Vocabulaire

- Observateur : humain ou appareil de détection possédant une horloge lui permettant de lire l'heure et éventuellement, s'il fait partie d'un groupe constitué, portant une marque indiquant sa position.
- Référentiel galiléen, appelé aussi « référentiel de Lorentz » ou « référentiel inertiel » : ensemble d'observateurs se déplaçant librement dans l'espace loin de toute masse, dont les distances mutuelles ne changent pas au cours du temps (ils sont au repos les uns par rapport aux autres) et qui ont synchronisé leurs horloges.
- Événement : un événement est un événement (!), comme par exemple la naissance d'un individu, le départ d'une fusée ou le tir d'un pétard. Il est indépendant des coordonnées de temps et d'espace qui permettent éventuellement de le localiser. Cependant il est commode en pratique de repérer les événements par leurs coordonnnées, à savoir le point où l'événement se produit et la date à laquelle il se produit. En relativité restreinte une longueur et un temps devraient se mesurer avec la même unité (ce que nous n'avons pas fait ici de façon systématique). En astronomie on choisit une unité de temps et on mesure une distance par le temps qu'il faut à la lumière pour la couvrir. Par exemple qu'une galaxie soit située à cinq millions d'années de lumière de la nôtre signifie que la lumière met cinq millions d'années pour parcourir la distance qui nous sépare. Remarquons que dans la vie courante on dira facilement que Paris, par exemple, est à trois heures de train de Montpellier, ce qui revient exactement à mesurer une distance en temps. ; voir aussi : question d'unités

Bibliographie

Une sélection des œuvres d'Einstein, notamment ses articles originaux, sont aujourd'hui disponibles en traduction française commentée sous le titre Œuvres choisies aux éditions du Seuil/CNRS éditions, dans la collection Sources du savoir (6 volumes parus depuis 1989). Les tomes 2 et 3 sont exclusivement consacrés aux théories de la relativité.

Ouvrages de vulgarisation

- Albert Einstein, La relativité, Gauthier-Villars (1956). Réédité par Payot (1990) ISBN 2228882542. Au format poche, un exposé élémentaire des principes de la théorie de la relativité restreinte et générale, par son auteur. Indémodable.
- Banesh Hoffmann, Histoire d'une grande idée : la relativité, Éditions Pour La Science (1985), diffusion Belin ISBN 0-9029-1844-5. Un exposé remarquable pour sa clarté et sa simplicité de la relativité, par un ancien collaborateur d'Einstein à Institute for Advanced Studies de Princeton.
- Thibault Damour, Si Einstein m'était conté, Editions du Cherche-midi, Paris (2005) ISBN 2-74910-390-8. Le grand spécialiste français des théories de la relativité nous livre enfin « son » Einstein sans équations. Thibault Damour est professeur permanent à l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) de Bures-sur-Yvette ; il a longtemps enseigné la relativité générale au DEA de physique théorique de la rue d'Ulm.
- Albert Einstein & Leopold Infeld, L'évolution des idées en physique, Collection Champs, Flammarion (1993) ISBN 2080811193. Au format poche, une histoire de la physique, de la Mécanique de Newton jusqu'aux théories modernes (relativité, quanta), écrite en 1936 par Einstein lui-même et l'un des ses disciples à Princeton, pour financer le séjour de ce dernier.
- Brian Greene, L'Univers élégant, folio essais (2005) ISBN 2-07-030280-6. Livre de vulgarisation remarquable sur l'état actuel de la physique.

Ouvrages d'initiation au formalisme

Accessibles au niveau premier cycle universitaire.
- James H. Smith ; Introduction à la relativité, InterEditions (1968). 2 édition avec exercices corrigés (1979) ISBN 2-7296-0088-4. Réédité par Masson (Dunod - 3 édition - 1997), ISBN 2225829853. Un livre en français qui expose les bases de la théorie de façon claire.
- M. Boratav & R. Kerner ; Relativité, Ellipses (1991), ISBN 2-7298-9145-5. Un très bon livre en français, écrit dans un style très vivant par deux professeurs à l'Université Paris 6. Contient de nombreux exemples et applications issus d'expériences récentes.
- E.F. Taylor & John A. Wheeler ; À la découverte de l'espace-temps, Dunod (1970). Cet ouvrage original est une introduction élémentaire, quoique rigoureuse, à la théorie de la relativité restreinte ; Wheeler est un expert incontesté du domaine. Le public visé est l'étudiant de premier cycle débutant en physique ; en particulier, la connaissance de l'électromagnétisme n'est pas nécessaire. C'est le complément idéal pour prolonger la lecture du livre de Banesh Hoffman cité ci-dessus. De nombreux exercices, dont une bonne part résolue. Malheureusement plus édité en français, cet ouvrage reste disponible en anglais : Spacetime Physics, W. H. Freeman (2 édition - 1992), ISBN 0716723271.
- Jean-Marc Levy-Leblond ; Les relativités, Cahiers de Fontenay n° 8, École Normale Supérieure de Fontenay-aux-Roses (1977). Notes de cours très pédagogiques, hélas non publiées. Disponibles dans les bonnes bibliothèques universitaires ...
- Max Born La théorie de la relativité d'Einstein et ses bases physiques, Gauthier-Villars (1923). Réédité par Jacques Gabay (2003) ISBN 2-87647-230-9. Cet ouvrage, écrit par un grand théoricien allemand, prix Nobel 1954, est remarquable pour sa clarté. La place occupée par l'aspect mathématique y est extrêmement réduite.
- Albert Einstein La théorie de la relativité restreinte et générale, Dunod (2005) ISBN 2100487167. La version anglaise se trouve sur le
- Albert Einstein Quatre conférences sur la théorie de la relativité, Dunod (2005) ISBN 2100492292. Texte de quatre conférences prononcées à l'université de Princeton en 1921.
- Thibault Damour & Stanley Deser ; Relativité, Encyclopeadia Universalis 19 (1995) 739-748. Un exposé non technique d'une grande clarté, par un spécialiste de notoriété mondiale : Thibault Damour est professeur permanent à l'Institut des Hautes Études Scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette ; il a longtemps enseigné la relativité générale au D.E.A. de physique théorique de Paris.
- Jean-Pierre Provost & Marie-Antoinette Tonnelat ; Espace-temps, Encyclopeadia Universalis 8 (1995) 743-745. Un exposé d'introduction assez simple, ou l'essentiel de la relativité en quatre pages .
- Hubert Lumbroso ; Relativité - Problèmes résolus, Édisciences (2 édition-1996) ISBN 2-84074-127-X. Ouvrage classique de taupe : un résumé de cours, avec un très grand nombre de problèmes corrigés.
- Wolfgang Rindler ; Introduction to special relativity, Oxford University Press (2 édition-1991) ISBN 0-19-853952-5. Une introduction écrite par un professeur de l'Université de Dallas (Texas), spécialiste mondial du domaine.
- N.D. Mermin ; It's about time: understanding Einstein's relativity, Princeton university press (2005), ISBN 0691122016.
- David Bohm ; The special theory of relativity, Benjamin (1965), réédité par Routeledge (Londres-1996) ISBN 0415148081. Il s'agit du cours professé au Birbeck College de l'Université de Londres par David Bohm, théoricien de la physique quantique, récemment disparu. Le formalisme mathématique est réduit au strict nécessaire permettant de discuter les idées physiques sous-jacentes. Niveau premier cycle universitaire.
- Wolfgang Rindler ; Relativity : special, general and cosmological, Oxford University Press (3 édition-2001) ISBN 0-19-850836-0. Une introduction brillante à tous les aspects de la relativité, par un professeur de l'Université de Dallas (Texas), spécialiste mondial du domaine. Accessible dès le premier cycle universitaire.
- Wolfgang Rindler ; Essential relativity : special, general and cosmological, Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag (2 édition révisée-1977) ISBN 3-540-10090-3. Édition antérieure du livre précédent, toujours intéressante.
- George F.R. Ellis & Ruth M. Williams ; Flat & curved space-times, Oxford University Press (2 édition-2000) ISBN 0-19-850656-2. Une autre excellente introduction à la relativité, par un expert, professeur de l'Université de Cape-Town (Afrique du Sud), et sa collaboratrice. Accessible dès le premier cycle universitaire.
- Clifford M. Will ; Tests of special relativity, Séminaire Poincaré « Einstein, 1905-2005 » (09 avril 2005). Ce texte en anglais, écrit par le spécialiste mondial des aspects expérimentaux des deux théories relativistes d'Einstein, décrit quelques tests expérimentaux de la relativité restreinte. À télécharger aux formats PostScript ou PDF.
- Julian Schwinger ; L'héritage d'Einstein - Les prolongements de la relativité, Collection L'univers des sciences, Bibliothèque Pour La Science (1988). Une présentation relativement simple de la théorie d'Einstein par un théoricien américain, prix Nobel de physique 1965 (avec Feynman et Tomonaga) pour la théorie de l'électrodynamique quantique. Vulgarisation de niveau premier cycle universitaire (il y a quelques équations simples).
- Lewis C. Epstein Relativity Visualized

Aspects historiques

- Olivier Darrigol ; , La Lettre de l'Académie des Sciences 14 (Hiver 2004) 6-7. L'auteur est physicien théoricien de formation. Il travaille au laboratoire de recherches épistémologiques et historiques sur les sciences exactes et les institutions scientifiques (REHSEIS) du CNRS et de l'Université Paris VII.
- Olivier Darrigol ; , Séminaire Poincaré « Einstein, 1905-2005 » (09 avril 2005) 57-78. Ce texte est plus complet que le précédent, contient quelques détails plus techniques.
- Albert Einstein ; Œuvres choisies - Tome 2 : Relativités I, Seuil / CNRS Editions (1999), ISBN 2020101793.
- Albert Einstein ; Œuvres choisies - Tome 3 : Relativités II, Seuil / CNRS Editions (1999), ISBN 2020101807.
- Marie-Antoinette Tonnelat ; Histoire du principe de relativité, Nouvelle Bibliothèque Scientifique, Flammarion (1971) ASIN 2082101630. Une histoire monumentale, depuis l'Antiquité jusqu'aux théories d'Einstein. Comporte une imposante bibliographie. Même s'il contient peu d'équations, ce livre exige de l'attention de la part du lecteur. Certains passages techniques consacrés à la théorie de la relativité générale sont de niveau deuxième cycle universitaire minimum.
- Abraham Pais ; Albert Einstein - Sa vie, son œuvre, Interéditions (1993). Réédité par Dunod (2005) ISBN 2100493892. La biographie scientifique , par un professeur de l'Université de Rockfeller qui a connu Einstein dans les dernières années de sa vie. Contenu extrêmement riche. Le niveau de certains passages techniques est celui d'un second cycle universitaire (au moins).
- Arthur I. Miller ; Albert Einstein's special theory of relativity - Emergence (1905) & early interpretation (1905-1911), Addison-Wesley (1981). Réédité par Springer-Verlag (1998) ISBN 0-387-94870-8.
- Wolfgang Pauli ; Theory of relativity, Dover Publications, Inc. (1981) ISBN 0-486-64152-X. Ce livre est une réédition anglaise d'un article de revue écrit en allemand en 1921 pour Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften par Pauli. Voilà ce qu'en dit Einstein dans une lettre adressée à Born, son professeur à Göttingen, datée du 30 décembre 1921 : « Pauli est un type épatant pour ses 21 ans ; il peut être fier de son article pour l'Encyclopédie. ».
- Françoise Balibar ; Galilée, Newton lus par Einstein - Espace & Relativité, Collection Philosophies, Presses Universitaires de France (1984) ISBN 2130434932. Réflexions historiques sur le principe de relativité, en 128 pages (format poche). Il ne s'agit pas d'un exposé de la théorie d'Einstein.
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Biographies d'Einstein

- Banesh Hoffmann ; Albert Einstein, créateur et rebelle, Collection Points-Sciences, Le Seuil (1975) ISBN 2020053470. Une excellente biographie au format poche, par un ancien collaborateur d'Einstein à l'Institute for Advanced Studies de Princeton.
- Philippe Frank ; Einstein - Sa vie et son temps, Collection Les savants & le monde, Albin Michel (Paris-1950). Réédition en poche dans la collection Champs, Flammarion (1993) ISBN 2080812424. Une biographie autorisée de première main, par celui qui fut le successeur d'Einstein à la chaire de physique théorique de l'Université de Prague, nommé sur sa recommandation. Très documentée, elle décrit admirablement le contexte historique (scientifique et politique) de la genèse des travaux d'Einstein.
- Abraham Pais ; Albert Einstein - Sa vie, son œuvre, Interéditions (1993). Réédité par Dunod (2005) ISBN 2100493892. La biographie scientifique qui fait aujourd'hui autorité depuis sa parution en 1982, par un professeur de l'Université de Rockfeller qui a connu Einstein dans les dernières années de sa vie. Contenu extrêmement riche. Le niveau de certains passages techniques est celui d'un second cycle universitaire (au moins).
- Jacques Merleau-Ponty ; Einstein, Collection Champs, Flammarion (1997) ISBN 2080813382. Une autre biographie au format poche, par un professeur d'épistémologie de l'Université de Paris X - Nanterre. L'ouvrage est divisé en trois parties : l'homme, son œuvre scientifique et sa philosophie.
- Françoise Balibar ; Einstein : La joie de la pensée, collection Découvertes, Gallimard (1993), ISBN 2070532208.
- Kouznetsov Boris. Einstein sa vie/ sa pensée/ ses théories, Belgique, Marabout Université, Des presses de Gérard & co, 1967, 336 p.

Notes et références

Voir aussi

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Sujets connexes
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