Conduction thermique

Infos
La conduction thermique est le mode de transfert de chaleur provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu ou entre deux milieux en contact sans déplacement appréciable de matière. C'est en fait l'agitation thermique qui se transmet de proche en proche, une molécule ou un atome cédant une partie de son énergie cinétique à son voisin (la vibration de l'atome se ralentit au profit de la vibration du voisin).
Conduction thermique

La conduction thermique est le mode de transfert de chaleur provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu ou entre deux milieux en contact sans déplacement appréciable de matière. C'est en fait l'agitation thermique qui se transmet de proche en proche, une molécule ou un atome cédant une partie de son énergie cinétique à son voisin (la vibration de l'atome se ralentit au profit de la vibration du voisin).

Généralités

Loi de Fourier

Ce transfert de chaleur spontané d'une région de température élevée vers une région de température plus basse obéit à la loi dite de Fourier (établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822). La densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température. :\varphi= - \lambda\overrightarrow\mathrm(T), La constante de proportionnalité λ est nommée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive. Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en J.m-1.K-1.s-1 ou, soit des W.m-1.K-1. boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= center dans la direction (0, x) nous pouvons exprimer le transfert thermique selon x pendant un temps dt : :dQ_x= - \lambda_x\ \frac\delta T\delta x dS_x dt\, Le flux thermique (à travers une surface élémentaire) est alors : : d\Phi= \frac= - \lambda_x \frac\delta T\delta x dS_x\, Nous pouvons en déduire la densité de flux : :\varphi= \fracd \Phi\, :\varphi= - \lambda \frac\delta T\delta x\,

Équation de la chaleur

Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur. Elle est ici donnée sous sa forme unidimensionnelle : \frac\partial \partial x \left (\lambda\, \frac\partial T\partial x\right) + P = \rho\, c\, \frac\partial T\partial t , où :
- P est l'énergie produite au sein même du matériau en W.m-3. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert de chaleur par conduction au sein du combustible nucléaire, ou l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents ...,
- ρ est la masse volumique du matériau en kg.m-3,
- et c est la chaleur massique du matériau en J.kg-1.K-1. (établissement de l'équation de conduction de la chaleur) Au cas où P est nulle et où l'on fait de plus l'approximation que la conductivité thermique λ ne dépend pas de la position : \lambda\, \frac\partial^2 T\partial x^2 = \rho\, c\, \frac\partial T\partial t . Soit, en régime permanent (lorsque la température n'évolue plus avec le temps) : \lambda\, \frac\partial^2 T\partial x^2 = 0 . La solution de cette équation est alors : T = A x + B, où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.

Conduction en régime stationnaire

Surface plane simple

right Le matériau est un milieu conducteur thermiquement limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan à une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords. Le flux thermique s'écrit : :\Phi = \frac\lambda S (T_1-T_2)\, La densité de flux thermique surfacique s'écrit : :\varphi= \frac\lambda (T_1-T_2). boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Compte tenu de la définition : :\frac= \rm Constante\, . L'équation de Fourier devient :\Rightarrow \Phi= - \lambda S \frac\, . Profil de température dans un mur Par intégration, il est possible de déterminer le profil de température dans l'épaisseur du mur :\int_^\, dT\ = - \int_^ \frac\Phi\lambda S dx\, , :T-T_1= - \frac\Phi\lambda S (x-x_1)\, , :\Rightarrow T= T_1 - \frac\Phi\lambda S (x-x_1)\, . La variation de température dans un mur est donc linéaire. Calcul du flux thermique. :\int_^\, dT\ = - \int_^ \frac\Phi\lambda S dx\, , :T_2-T_1= - \frac\Phi\lambda S (x_2-x_1)\, , : e= x_2-x_1\, . :\Rightarrow \Phi = \frac\lambda S (T_1-T_2)\, Calcul de la densité de flux thermique surfacique. :\varphi= \frac\Phi\, , :\varphi= \frac\lambda (T_1-T_2)\, . Analogie électrique right Par analogie avec l'électricité (loi d'Ohm) dans le cas particulier où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique \varphi constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions : :(U_1-U_2)= RI\, : (T_1-T_2)= \frac\lambda S \Phi\, Nous pouvons mettre en parallèle la tension et l'intensité :(U_1-U_2) \leftrightarrow (T_1-T_2), : I \leftrightarrow \Phi, Avec la résistance thermique : R \leftrightarrow R_= \frac\lambda S\, où S est la surface du matériaux et e son épaisseur. La résistance thermique R_ est homogène à des K.W-1

Surfaces planes en série

right On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective e_, e_ et e_ et de conductivité radiative respective \lambda_, \lambda_ et \lambda_. Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interfaces entre 2 matériaux est identique dans chaque matériaux (Pas de saut de température au passage d'une interface). Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique \varphi constant. les résistances thermiques s'additionnent : :T_1- T_4= (\frac\lambda_A S+ \frac\lambda_B S+ \frac\lambda_C S) \Phi\ = (R_+ R_+ R_) \Phi boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Globalement, nous avons :T_1- T_4= \frac\lambda S \Phi\, Si l'on décompose :Pour la couche A : T_1- T_2= \frac\lambda_A S \Phi\, :pour la couche B : T_2- T_3= \frac\lambda_B S \Phi\, :pour la couche C : T_3- T_4= \frac\lambda_C S \Phi\, Nota : Compte tenu des hypothèses, le flux (ou la densité de flux reste constant). Avec : :T_1- T_4= (T_1-T_2)+(T_2-T_3)+(T_3-T_4)\, Donc :T_1- T_4= (\frac\lambda_A S+ \frac\lambda_B S+ \frac\lambda_C S) \Phi\, :T_1- T_4= (R_+ R_+ R_) \Phi\, Le profil des températures Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type : :T= T_1- \frac\lambda_X S\Phi\, La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte. center Analogie électrique De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent. center

Surfaces planes en parallèle

right On considère des matériaux plans juxtaposés côte à côte. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre. Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T1 et T2). Soit SA, SB et SC les surfaces respectives des éléments A, B et C. Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. réglementation thermique TH 2000) Les conductances thermiques s'additionnent : :C_= \frac = \frac\frac\lambda_A S_A+\frac\frac\lambda_B S_B+\frac\frac\lambda_C S_C = \frac + \frac + \frac boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Pour chaque élément, le flux s'exprime suivant la relation :T_1- T_2= \frac\lambda_X S \Phi\, Avec en prenant l'analogie électrique :R_X= \frac\lambda_X S_X\, où X est égale à A, B ou C Nous avons donc :\Phi_A= \frac\, :\Phi_B= \frac\, :\Phi_C= \frac\, Le flux total est égale à la somme des flux dans chaque élément :\Phi= \Phi_A+ \Phi_B+ \Phi_C\, :\Phi= (T_1- T_2) (\frac+ \frac+ \frac)\, Soit S la surface totale :S= S_A+ S_B+ S_C\, Le flux surfacique s'écrit alors :\varphi=\frac\Phi\, Toujours par analogie avec les lois électriques, l'inverse de la résistance thermique est parfois appelé conductance thermique. :C_= \frac = \frac\frac\lambda_A S_A+\frac\frac\lambda_B S_B+\frac\frac\lambda_C S_C = \frac + \frac + \frac Analogie électrique Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistances en parallèle. | border="0" |----- | center | center |----- |align="center"|I = (\frac+ \frac+ \frac) \Delta U\, |align="center"|\Phi = (\frac+ \frac+ \frac) \Delta T\, |

Surface cylindrique simple

right Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord. La variation de température s'écrit : :\ T_1-T_2= \frac\Phi2 \pi \lambda L \ln \frac boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Si l'on considère une variation dR à l'intérieur du matériau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors : :\Rightarrow \Phi= - \lambda S \frac\, Variation de la température dans l'épaisseur du tube Évolution de la température dans l'épaisseur d'un tube simple avec Tintérieure>Textérieure Soit S la surface d'un cylindre : : S= 2 \pi R L\, Nous pouvons écrire la loi de Fourier sous la forme : : \Phi= - \lambda 2 \pi R L \frac\, :\frac= - \frac2 \pi \lambda L dT\Phi\, :\int_^ \frac= - \frac2 \pi \lambda L \Phi \int_^ dT\, :\ln \frac= \frac2 \pi \lambda L \Phi (T_1-T)\, La variation de température dans le matériau est donc :\ T= T_1 - \frac\Phi2 \pi \lambda L \ln \frac\, Sur la totalité de l'épaisseur du tube, la variation est :\ T_1-T_2= \frac\Phi2 \pi \lambda L \ln \frac\,

Surfaces cylindriques concentriques

Schéma d'un tube concentrique Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord. La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série : :\ R_= R_ + R_ boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Évolution de la température dans la première couche : :\ T_1-T_2= \frac\Phi2 \pi \lambda_A L \ln \frac\, Évolution de la température dans la deuxième couche : :\ T_2-T_3= \frac\Phi2 \pi \lambda_B L \ln \frac\, Sur la totalité de l'épaisseur du tube : :\ T_1-T_3= \frac\Phi2 \pi L \left ( \frac \ln \frac \lambda_A + \frac \ln \frac \lambda_B\right )\, La résistance thermique de la couche A :\ R_= \frac \ln \frac \lambda_A\, La résistance thermique de la couche B :\ R_= \frac \ln \frac \lambda_B\, La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série : :\ R_= R_ + R_\,

Conduction en régime dynamique

Notes

Voir aussi

- Conductance électrique Catégorie:Transfert de chaleur Fourier bg:Топлопроводимост ca:Conducció tèrmica cs:Vedení tepla de:Wärmeleitung en:Heat conduction fi:Johtuminen hr:Kondukcija topline it:Conduzione termica ja:熱伝導 ml:താപചാലകം nl:Wet van Fourier pl:Przewodzenie ciepła pt:Condução térmica ru:Теплопередача simple:Heat conduction sk:Vedenie tepla sl:Zakon o prevajanju toplote sv:Värmeledning th:การนำความร้อน
Sujets connexes
Chaleur   Conductance électrique   Conductivité thermique   Gradient   Jean-Baptiste Biot   Joseph Fourier   Loi d'Ohm   Température  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^