Limite projective

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En mathématiques, la notion de limite projective (inverse limit en anglais) est utilisée pour considérer simultanément toute une famille d'objets, par exemple des groupes, liés entre eux par une famille de morphismes, par exemple des morphismes de groupes. Le cadre général pour cette notion est celui des catégories.
Limite projective

En mathématiques, la notion de limite projective (inverse limit en anglais) est utilisée pour considérer simultanément toute une famille d'objets, par exemple des groupes, liés entre eux par une famille de morphismes, par exemple des morphismes de groupes. Le cadre général pour cette notion est celui des catégories.

Définition concrète

Pour fixer les idées, on parle d'abord de limite projectives de groupes. On considère une famille (Ai)iI de groupes, indicée par un ensemble I ordonné, et munie d'une famille de morphismes de groupes fij : AjAi pour tout ij (remarquer l'ordre : du plus grand indice j vers le plus petit i, au contraire d'une limite inductive) vérifiant les conditions de compatibilité :
- fii est l'identité sur Ai,
- fik = fij O fjk pour tous ijk. La donnée (I, Ai, fij) est appelée système projectif de groupes. La limite projective de ce système est alors définie comme un sous-groupe du produit direct des Ai : :\varprojlim A_i = \Big\(a_i) \in \prod_i\in IA_i \;\Big|\; \forall i \leq j, \, \, a_i = f_(a_j) \Big\ Cette limite projective est munie naturellement de projections sur chacun des Ai. Qui plus est, elle vérifie une propriété universelle parmi les groupes se projetant sur les Ai. Il est en fait possible de définir la limite projective par cette propriété universelle. La même construction peut être effectuée avec des ensembles, des anneaux, des modules, des algèbres, au lieu des groupes.

Exemple

L'anneau des entiers p-adiques \mathbb Z_p est défini comme la limite projective des anneaux \mathbb Z/p^n\mathbb Z, indexés par \mathbb et reliés par les morphismes de réduction modulo p. Un entier p-adique est alors une suite (a_n)_n\ge 1 telle que a_n \in \mathbb Z/p^n\mathbb Z et que, si n
Sujets connexes
Diagramme commutatif   Groupe (mathématiques)   Groupe profini   Limite inductive   Limite projective   Mathématiques   Nombre p-adique   Produit direct (groupes)   Propriété universelle   Théorie des catégories  
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