Cône (géométrie)

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En géométrie, un cône désigne ou bien une surface réglée ou bien un solide
Cône (géométrie)

En géométrie, un cône désigne ou bien une surface réglée ou bien un solide

Surface

right Un cône est une surface réglée définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point fixe S appelé sommet et un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice. On parle aussi dans ce cas de surface conique. Parmi ces surfaces coniques, la plus étudiée est le cône de révolution dans lequel la courbe directrice est un cercle de centre O situé dans un plan perpendiculaire à (SO). . ce cône est appelé de révolution car il peut être généré simplement par la rotation d'une droite (d) passant par S autour d'un axe (Sz) différent de (d). La génératrice du cône fait alors un angle fixe a avec l'axe de rotation. C'est à partir de ce cône de révolution que les mathématiciens (dont Apollonius de Perga) ont classifié un ensemble de courbes comme des coniques (intersection du cône et d'un plan) : cercles, ellipses, paraboles, hyperboles. Dans le repère orthonormal (S, i, j, k), l'équation du cône de révolution d'axe (Sz) et de sommet S est donnée par : :x^2+y^2=z^2(\tan\ a)^2 où a est l'angle du cône, formé par l'axe et une génératrice.

Solide

cône de révolution et cône quelconque On appelle aussi cône le solide délimité par la surface conique , le sommet S et un plan (P) ne contenant pas S et sécant à toutes les génératrices. La section du plan et de la surface s'appelle la base du cône. Lorsque la section est circulaire de centre O et que la droite (OS) est perpendiculaire à la section, le cône est appelé cône de révolution ou cône circulaire droit. C'est le cône le plus connu (cornet de glace, chapeau de clown). Dans ce cas, la distance séparant le sommet d'un point quelconque du cercle est constante et s'appelle apothème du cône. Lorsque la courbe fermée est un polygone, on obtient une pyramide. Quelle que soit la forme du cône, son volume est toujours : V = \fracB\times h où B est la surface de la base et h la hauteur du cône, c'est-à-dire la distance séparant le sommet S et le plan (P)

Cas du cône de révolution

cône de révolution Dans le cas particulier du cône de révolution, les formules du volume V et de l'aire A (aire de la surface enfermant le cône: aire latérale + base circulaire) sont : V = \frac\pi r^2\times h : A = \pi r (r+a)\, , où r est le rayon du cercle de base, h la hauteur du cône et : a = \sqrt l'apothème du cône. L'aire latérale Al (sans la base) vaut : A_l = \pi r \sqrt = \pi r^2 \sqrt1 + \frac or, d'après les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on a : 1 + \frac = \frac\sin ^2\alpha où α est le demi-angle au sommet. Si A0 est l'aire de la base π⋅r 2, on a alors : A_l = \frac\sin \alpha Cette formule sert par exemple à calculer l'aire du front de flamme dans le cas d'une flamme conique, donc la consommation de gaz et la puissance de cette flamme.

Voir aussi

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Sujets connexes
Apollonius de Perga   Apothème   Cercle   Conique   Courbe plane   Cône de lumière   Droite (mathématiques)   Ellipse (mathématiques)   Front de flamme   Gallica   Géométrie   Hyperbole   Parabole   Perspective conique   Polygone   Pyramide   Solide géométrique   Surface réglée   Volume  
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