Série entière

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En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme : \sum_n \geq 0 a_nz^n où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. La série est dite entière du fait qu'elle fait intervenir des puissances entières. Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide d'une grandeur associée à la série, son rayon de convergence R
Série entière

En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme : \sum_n \geq 0 a_nz^n où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. La série est dite entière du fait qu'elle fait intervenir des puissances entières. Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide d'une grandeur associée à la série, son rayon de convergence R. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon R), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme. Réciproquement, certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d'un de leurs points c comme somme d'une série entière de la variable z-c : celle-ci est alors leur série de Taylor. On parle dans ce cas de fonctions développables en série entière au point c. Lorsqu'une fonction est développable en série entière en chacun de ses points, elle est dite analytique. Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en combinatoire en tant que fonction génératrice et se généralisent dans la notion de série formelle. Dans la théorie des nombres, le concept de nombre p-adique est proche de celui de série entière.

Définitions

Dans ce qui suit, la variable z est réelle ou complexe.

Série entière

Une série entière de variable z, est une série de terme général a_n\, z^n, où n est un entier naturel, et _n\in\mathbb est une suite de nombres réels ou complexes. L'usage veut que l'on adopte la notation \sum a_nz^n ou \sum_n \geq 0 a_nz^n pour parler d'une série entière, tandis que l'on écrira \sum_^+\infty a_nz^n pour son éventuelle somme, en cas de convergence, pour un z donné.

Rayon de convergence

Une bonne partie des propriétés de convergence de la série peut être exprimée à l'aide de la quantité suivante, appelée rayon de convergence de la série :R = \sup\left\|z|, z\in \mathbb, \sum a_n z^n \text\right\\in\, = \overline\R^+. Ces propriétés se fondent sur le lemme d'Abel. théorème|Lemme d'Abel|Soit un réel r_0>0. Si la suite de terme général |a_n| r_0^n est bornée, alors la série \textstyle\sum_n \geq 0 a_n\, z^n converge absolument pour |z| < r_0. Démonstration|contenu= Si |z|
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