Formule du binôme de Newton

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La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Il est aussi appelé formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.
Formule du binôme de Newton

La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Il est aussi appelé formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.

Énoncé

Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau qui commutent (c'est à dire tels que xy=yx), et un entier naturel n, :(x+y)^n=\sum_^n n \choose k x^ y^k où les nombres :n \choose k=\frack!\, (n-k)! (parfois aussi notés C_n^k) sont les coefficients binomiaux. Remplacer dans la formule y par -y revient à prendre le second terme comme négatif : :(x-y)^n=\Big(x+(-y)\Big)^n=\sum_^n n \choose k x^ (-y)^k Exemple : :n=2~, \qquad(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\, :n=3~, \qquad(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\, :n=4~, \qquad(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,

Démonstration

Soient x, y des éléments d'un anneau tels que xy=yx et n un entier naturel. :(x+y)^n=\sum_^n n \choose k x^ y^k Démontrons cette formule par récurrence.

Initialisation

:n=0~, \qquad(x+y)^0=1=0 \choose 0x^0y^0 :n=1~, \qquad(x+y)^1= x + y =1 \choose 0x^1y^0 + 1 \choose 1x^0y^1

Hérédité

Soit n un entier supérieur ou égal à 1, montrons que si la relation est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1 : Par hypothèse de récurrence : :(x+y)^=(x+y)\cdot\sum_^n n \choose k x^ y^k, Par distributivité de \cdot sur + : :(x+y)^=x^+x\cdot\sum_^n n \choose k x^ y^k +y\cdot\sum_^ n \choose k x^ y^k + y^ Par factorisation : :(x+y)^ =x^+\sum_^n \left\lbrack \choose + \choose \right\rbrack x^ y^+ y^ En utilisant la formule du triangle de Pascal : :(x+y)^ =x^+\sum_^n \choose k~x^ y^+y^ Ce qui termine la démonstration. ==
Sujets connexes
Anneau (mathématiques)   Binôme (mathématique)   Binôme généralisé   Coefficient binomial   Commutativité   Entier naturel   Formule du binôme négatif   Isaac Newton   Mathématiques   Raisonnement par récurrence   Triangle de Pascal  
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