Stationnarité d'une série temporelle

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Une des grandes questions dans l'étude de séries temporelles (ou chronologiques) est de savoir si celles-ci sont stationnaires. On entend par là le fait que leur structure évolue ou non avec le temps. Si la structure reste la même, la série est dite alors stationnaire.
Stationnarité d'une série temporelle

Une des grandes questions dans l'étude de séries temporelles (ou chronologiques) est de savoir si celles-ci sont stationnaires. On entend par là le fait que leur structure évolue ou non avec le temps. Si la structure reste la même, la série est dite alors stationnaire.

Définition forte de la stationnarité

Déf: Une série temporelle \textstyle Z_1, Z_2, ..., Z_t est dite stationnaire au sens fort si \textstyle f(Z_1, Z_2, ..., Z_t) = f(Z_, Z_, ..., Z_) Interprétation: On s'intéresse ici à la distribution conjointe de probabilité de la série. La fonction de densité jointe est-elle la même que l'on prenne les t premières variables ou que l'on prenne les t+k suivantes? Si oui, la série est alors stationnaire au sens strict. Autrement dit, si la série est stationnaire, ses propriétés ne sont pas affectées par un changement de notre "repère temporel": que l'on regarde au point t ou au point t+k la série aura toujours le même comportement. Comme la loi de probailité d'une distribution d'une série de données est très difficile à estimer, une définition moins stricte de la stationnarité a été introduite.

Définition faible de la stationnarité

Déf: Une série temporelle \textstyle Z_1, Z_2, ..., Z_t est dite stationnaire au sens faible (ou "de second ordre", ou "en covariance") si :::::::
- E = \mu \qquad \qquad \qquad \forall i= 1...t :::::::
-( Var = \sigma^2 \ne \infty \qquad \forall i= 1...t ) :::::::
- \textstyle \rho_ = f(k) = \rho_k Interprétation:
-La première condition stipule que l'espérance est constante au cours du temps, il n'y a donc pas de tendance.
-La seconde condition (entre parenthèses car elle peut être incluse dans la troisième) stipule que l'espérance est constante au cours du temps et non infinie.
-Troisième condition: La corrélation \textstyle \rho_ entre la variable \textstyle Z_t et la variable \textstyle Z_ dépend-elle seulement de l'ampleur d'un décalage de k (on a: \textstyle \rho_ \scriptstyle = f(k)), ou alors la position dans le temps t joue-t-elle aussi un rôle (alors \textstyle \rho_ \scriptstyle = f(t, k))? Si la position dans le temps ne joue pas de rôle alors la série est dite stationnaire au sens faible.

Ordre d'intégration d'une série temporelle

Si une série temporelle n'est pas stationnaire, il est possible de la rendre stationnaire en la différenciant, soit en prenant les différences de valeurs entre les périodes: \Delta X_=X_-X_ Déf: Une série temporelle est dite intégrée d'ordre d, que l'on note I(d), s'il faut la différencier d fois avant qu'elle ne soit stationnaire. Exemple: Soit la marche aléatoire pure: X_=X_ + \epsilon_t \qquad avec \epsilon_t un bruit blanc. On peut montrer qu'une marche aléatoire n'est pas stationnaire. On voit ici qu'elle est intégrée d'ordre 1, il suffit de différencier une fois la série pour que celle-ci devienne stationnaire: \Delta X_t=X_-X_=\epsilon_t La série \Delta X_t est en effet stationnaire car équivalente à un bruit blanc, stationnaire par définition.

Tests de stationnarité

Si la fonction de densité n'est pas connue, ce qui est souvent le cas, il est utile de pouvoir déterminer par un test si la série est stationnaire ou non. Il en existe deux types, avec la stationnarité comme hypothèse nulle ou hypothèse alternative:

Tests de stationnarité

L'hypothèse nulle est la stationnarité.
-Test KPSS Kwiatkowski, D., P.C.B. Phillips, P. Schmidt and Y. Shin (1992), ”Testing the Null Hypothesis of Stationarity against the Alternative of a Unit Root”, Journal of Econometrics, 54, 159-178.
-Test de Leybourne et McCabe Leybourne, S.J. and B.P.M. McCabe (1994), ”A Consistent Test for a Unit Root”, Journal of Business and Economic Statistics, 12, 157-166

Tests de racine unitaire

L'hypothèse nulle est la non-stationnarité.
-Test de Dickey Fuller Dickey, D.A. and W.A. Fuller (1979), “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root, ” Journal of the American Statistical Association, 74, p. 427–431 lien Wikipedia anglais
-Test augmenté de Dickey Fuller (ADF) Said E. and David A. Dickey (1984), 'Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving Average Models of Unknown Order', Biometrika, 71, p 599–607 lien Wikipedia anglais
-Test de Phillips-Perron Phillips, Perron (1988) Testing for a Unit Root in a Time Series Regression, Biometrika, 75, p 335-346 (PP)
-Test DF-GLS (ou ERS) Elliott, G., Rothenberg, T., and Stock, J. (1996). Efficient tests for an autoregressive unit root. Econometrica, 64, 813-836

Références

-Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press
-Lardic, Mignon (2002), Econométrie des séreis temporelles macroéconomiques et financières, Economica, Paris
-Maddala, Kim (1998), Unit roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge University Press

Voir aussi

-Série temporelle
-Statistiques
-Econométrie Catégorie:Statistiques
Sujets connexes
Bruit blanc   Corrélation   Loi de probabilité à plusieurs variables   Statistiques   Séries temporelles  
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