Espace Lp

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En théorie de la mesure, pour tout réel p strictement positif, l'espace Lp(X, A, μ) est l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles (ou complexes selon les choix d'auteur), définies et mesurables sur l'espace mesuré (X, A, μ) et dont la p-ième puissance est μ-intégrable, considérées modulo l'identification des fonctions égales presque partout. La norme Lp est définie comme suit : :\|f\|_p=\left^. Suivant le c
Espace Lp

En théorie de la mesure, pour tout réel p strictement positif, l'espace Lp(X, A, μ) est l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles (ou complexes selon les choix d'auteur), définies et mesurables sur l'espace mesuré (X, A, μ) et dont la p-ième puissance est μ-intégrable, considérées modulo l'identification des fonctions égales presque partout. La norme Lp est définie comme suit : :\|f\|_p=\left^. Suivant le contexte, les lettres A et \mu peuvent être sous-entendues. Pour p>1, Lp(X, A, μ) muni de cette norme est un espace vectoriel normé complet. Conjointement avec l'espace L∞, ils forment une classe importante d'exemples d'espaces de Banach en analyse fonctionnelle. Dans la théorie de Riemann, l'espace Lp('R) se définit par un procédé de complétion. Si X est l'ensemble N des entiers naturels, muni de la tribu grossière, et que μ est la mesure de comptage, l'espace Lp(X, A, \mu) n'est autre que l'espace lp('N) des suites réelles dont la p-ième puissance est sommable.

Propriétés

En général, si p \neq q, on n'a ni Lp inclus dans Lq, ni Lq inclus dans Lp. Cependant si la mesure est finie (comme en probabilités par exemple), alors pour p < q, Lq est inclus dans Lp. D'autre part s'il existe ε > 0 tel que toute partie de X est de mesure plus grande que ε, pour p < q, Lp est inclus dans Lq.

Voir aussi

- Espace L1
- Espace L2
- Espace L∞
- Espace de suites lp Lp cs:Lp prostor de:Lp-Raum en:Lp space it:Spazio Lp nl:Lp-ruimte pms:Spassi Lp pl:Przestrzeń Lp pt:Espaço Lp ru:Пространство Lp zh:Lp空间
Sujets connexes
Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Espace de Banach   Espace de suites lp   Intégrale de Lebesgue   Intégrale de Riemann   Nombre complexe   Nombre réel   Théorie de la mesure  
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