Algèbre sur un corps

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En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: (E, \mathbb K, +, \cdot, \times) est une algèbre sur un corps \mathbb K, ou autrement dit une \mathbb K- algèbre si :
- (E, +, ·) est un espace vectoriel sur \mathbb K
- la loi × est définie de E x E dans E   ( loi de composition interne )
- la loi × est associative, distributive, à gauche et à droite, par rap
Algèbre sur un corps

En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: (E, \mathbb K, +, \cdot, \times) est une algèbre sur un corps \mathbb K, ou autrement dit une \mathbb K- algèbre si :
- (E, +, ·) est un espace vectoriel sur \mathbb K
- la loi × est définie de E x E dans E   ( loi de composition interne )
- la loi × est associative, distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi + et telle que E possède un élément neutre pour la loi x.
- pour tout a, b dans \mathbb K et pour tout x, y dans E alors (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Définitions

Soient \mathbb K un corps et A un espace vectoriel sur \mathbb K contenant l'opération binaire (c'est-à-dire \forall x, y \in A, xy\, , est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que \forall x, y, z \in A\, (vecteurs) et \forall a, b \in \mathbb K\, (scalaires), et que ces identités sont vraies :
- (x + y) z = x z + y z\, ;
- x ( y + z) = x y + x z\, ;
- (a x) (b y) = (a b) (x y)\, . Alors A est une algèbre sur \mathbb K. On dit que A est une \mathbb K-algèbre où \mathbb K est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A. \mathbb K peut être un anneau commutatif, dans ce cas, A et \mathbb K forment un module. Dans ce cas, A est une \mathbb K-algèbre et \mathbb K est l'anneau de base de A. Deux algèbres A et B sur \mathbb K sont isomorphes s'il existe une bijection f : A \rightarrow B telle que f(xy) = f(x) f(y) \forall x, y \in A.

Propriétés

Exemples

- L'ensemble des nombres complexes (\mathbb C, \mathbb R, +, \cdot, \times) est une \mathbb R- algèbre associative et commutative.
- L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à valeur dans \mathbb R \left(\mathcal M_n(\mathbb R), \mathbb R, +, \cdot, \times \right) est une \mathbb R- algèbre associative et non commutative.
- L'espace euclidien \mathbb R^3 muni du produit vectoriel (\mathbb R^3, \mathbb R, +, \cdot, \wedge) est une un \mathbb R- algèbre non associative et non commutative.
-L'ensemble des quaternions (\mathbb H, \mathbb R, +, \cdot, \times) est une \mathbb R- algèbre associative et non commutative.
-L'ensemble des octonions (\mathbb O, \mathbb R, +, \cdot, \times) est une \mathbb R- algèbre non associative et non commutative.
-L'ensemble des biquaternions (\mathbb B, \mathbb R, +, \cdot, \times) est une \mathbb R- algèbre associative et non commutative.

Voir aussi

- Algèbre de Clifford
- Algèbre géométrique Catégorie:Structure externe de:Algebra (Struktur) en:Algebra over a field es:Álgebra sobre un cuerpo he:אלגברה לא אסוציאטיבית it:Algebra su campo ja:多元環 nl:Algebra (structuur) pl:K-algebra
Sujets connexes
Algèbre de Clifford   Algèbre géométrique   Anneau commutatif   Associativité   Bijection   Bilinéaire   Biquaternion   Commutativité   Corps (mathématiques)   Distributivité   Espace euclidien   Espace vectoriel   Isomorphisme   Mathématiques   Matrice (mathématiques)   Octonion   Opérateur (mathématiques)   Produit vectoriel   Quaternion   Structure algébrique  
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