Axiome du choix

L'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie axiomatique des ensembles.

Énoncé

Dans sa forme première, l'axiome du choix s'énonce littéralement comme suit : :« Étant donnée une famille non vide d'ensembles non vides, il existe une fonction, appelée fonction de choix qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. » Cet axiome se traduit par le prédicat : (\forall X)\; \left\Longrightarrow\left\; . Dans certains cas particuliers, une telle fonction peut être explicitement définie. Par exemple, si X désigne une famille de parties x non vides de \mathbb N, alors on peut poser f(x) égal à l'élément minimal de x. Mais dans le cas général, l'existence de f repose sur l'axiome ci-dessus.

Autres formulations

Il existe d'autres énoncés équivalents à l'axiome du choix, dont les suivants :
- « Le produit d'une famille non vide d'ensembles non vides est non vide » : (\forall X)\; \left\Longrightarrow \prod_y\in Xy\neq \emptyset\; ;
- « Toute surjection sur un ensemble non vide est inversible à droite » ;
- Pour toute relation d'équivalence R sur un ensemble non vide X, il existe un choix de représentants de R, autrement dit un sous-ensemble Y de X tel que tout élément de X est R-équivalent à un unique élément de Y.
- Théorème de Zermelo : « Tout ensemble non vide est bien ordonnable (c'est-à-dire peut être muni d'une structure de bon ordre) » ;
- Lemme de Zorn : « Tout ensemble inductif non vide admet un élément maximal » ; boîte déroulante|titre=Démonstration des équivalences|contenu=
- L'axiome du choix est équivalent au premier énoncé. Si X est une famille non vide d'ensembles non vides, le produit \prod_y\in Xy est exactement l'ensemble des fonctions de choix de X. Demander à ce qu'il soit non vide équivaut simplement à l'existence d'une fonction de choix !
- L'axiome du choix est équivalent au second énoncé. Pour X une famille non vide d'ensembles non vides, on note Y la réunion disjointe des ensembles appartenant à X. Il existe une surjection naturelle Y\rightarrow X qui à un élément de Y associe l'unique ensemble de X auquel il appartient. Réciproquement, si s:Y\rightarrow X est une surjection, alors X est en bijection avec \s^(x), x\in X\. Une fonction de choix de X s'identifie avec une section de s (inverse à droite).
- L'axiome du choix est équivalent au troisième énoncé. Si X est une famille non vide d'ensembles non vides, si Y est la réunion disjointe des ensembles de X, il existe une relation d'équivalence naturelle sur Y : deux éléments sont dits équivalents s'ils appartiennent à un même ensemble de X. Réciproquement, si R est une relation d'équivalence sur un ensemble non vide Y, l'ensemble X des classes d'équivalence est une famille non vide d'ensembles non vides. Une fonction de choix de X est exactement un choix d'un ensemble de représentants de R.
- Le lemme de Zorn implique l'axiome du choix. Soit X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit I l'ensemble des fonctions de choix f pour une sous-famille Y de X. L'ensemble I est non vide, car il est possible de définir sans l'axiome du choix une fonction de choix sur toute sous-famille finie de X. Cet ensemble est ordonné par le prolongement des applications. I est un ensemble inductif. Si le lemme de Zorn est vérifié, I admet un élément maximal, autrement dit une fonction de choix définie sur une sous-famille maximale Y de X. Si par l'absurde Y était différent de X, associer à un ensemble appartenant à X-Y un de ses éléments est toujours possible et permettrait de prolonger f à une sous-famille strictement plus grande, ce qui contredit la maximalité. Donc, Y=X et f est une fonction de choix pour X.
- Le théorème de Zermelo implique l'axiome du choix. Soit X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit Y la réunion des ensembles appartenant à X. Par le théorème de Zermelo, Y peut être muni d'un bon ordre