Loi de Poisson

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En statistique, la loi de Poisson de paramètre \lambda, ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant: Sur une période T, un événement arrive en moyenne \lambda fois. On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ... Cette variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :p(k) = P(X = k)= \mathrm^-\lambda\frac\lambda ^k
Loi de Poisson

En statistique, la loi de Poisson de paramètre \lambda, ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant: Sur une période T, un événement arrive en moyenne \lambda fois. On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ... Cette variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :p(k) = P(X = k)= \mathrm^-\lambda\frac\lambda ^k\, pour tout entier naturel k, où
- e est la base de l'exponentielle (2, 718...)
- k! est la factorielle de k
- \lambda est un nombre réel strictement positif C'est la loi de Poisson de paramètre \lambda

Calcul de p(k)

Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale de paramètres (T; \lambda/T). Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson. Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle les fonctions F_k(t) = probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps . En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes.

Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une loi de Poisson est \lambda. boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Si X\, suit une loi de poisson de paramètre \lambda\, , soit X \sim \mathcal(\lambda)\, . Alors, on a par définition que \mathbb(X=k)=e^-\lambda\frac\lambda^k et que: \mathbb(X)=\sum_^+\inftyk\, \mathbb(X=k) \mathbb(X)=\sum_^+\inftyk\, e^-\lambda\frac\lambda^k \mathbb(X)=e^-\lambda\, \sum_^+\infty\frac\lambda^k \mathbb(X)=\lambda\, e^-\lambda\, \sum_^+\infty\frac\lambda^ (cf. développement en série entière de e^\, ) \mathbb(X)=\lambda\, e^-\lambda\, e^\lambda\, =\lambda La variance d'une loi de Poisson est \lambda. boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= V(X)= \mathbb(X^2) - ( \mathbb(X) ) ^2 V(X)=\sum_^+\inftyk^2\, \mathbb(X=k) - \lambda^2 V(X)=\sum_^+\inftyk^2\, e^-\lambda\frac\lambda^k - \lambda^2 V(X)=\lambda\, e^-\lambda \sum_^+\infty\, \frack\lambda^ - \lambda^2 V(X)=\lambda\, e^-\lambda \sum_^+\infty\, \fracd\lambda\frac\lambda^k - \lambda^2 V(X)=\lambda\, e^-\lambda \fracd\lambda \sum_^+\infty\, \frac\lambda^k - \lambda^2 V(X)=\lambda\, e^-\lambda \fracd\lambda - \lambda^2 V(X)=\lambda\, e^-\lambda \fracd\lambda - \lambda^2 V(X)=\lambda\, e^-\lambda(\lambda+1)\, e^\lambda - \lambda^2 V(X)=\lambda\, (\lambda+1) - \lambda^2 V(X)=\lambda\, Son écart type est donc \sqrt\lambda

Fonction Génératrice

La fonction génératrice de la loi de poisson est \phi_ (t) =\ e^\lambda(t-1) boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= La fonction génératrice d'une loi X est définie par \phi_ (t) =\ \mathbb(t^X). Ainsi on obtient : \mathbb(t^X) = \sum_^ t^k \mathbb(X=k) \mathbb(t^X) = \sum_^ t^k e^-\lambda \frac\lambda^k \mathbb(t^X) = e^-\lambda\sum_^ t^k \frac\lambda^k \mathbb(t^X) = e^-\lambda\sum_^ \frac(t\lambda)^k \mathbb(t^X) = e^-\lambda e^t\lambda \mathbb(t^X) = e^\lambda(t - 1)

Domaine d'application

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dûs aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz). Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie, la météorologie, …

Diagrammes en bâtons

Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5. diagramme en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 1 diagramme en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 2 diagramme en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 5 Lorsque le paramètre \lambda de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance égales à \lambda (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors X+Y est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.

La loi de Poisson en littérature

Dans le roman de Thomas Pynchon, L'Arc-en-ciel de la gravité, un des personnages, le statisticien Roger Mexico, utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes V-2 sur la ville de Londres durant la bataille d'Angleterre.

Voir aussi

-Probabilité
-Probabilité (mathématiques élémentaires)
-loi de probabilité

Lien externe

- Poisson, Loi de ar:توزيع بواسون bg:Разпределение на Поасон cs:Poissonovo rozdělení de:Poisson-Verteilung en:Poisson distribution es:Distribución de Poisson fa:توزیع پواسون fi:Poissonin jakauma he:התפלגות פואסון hu:Poisson-eloszlás it:Variabile casuale poissoniana ja:ポアソン分布 lt:Puasono skirstinys nl:Poissonverdeling no:Poissonfordeling pl:Rozkład Poissona pt:Distribuição de Poisson ru:Распределение Пуассона simple:Poisson distribution su:Sebaran Poisson sv:Poissonfördelning uk:Розподіл Пуассона zh:泊松分佈
Sujets connexes
Bataille d'Angleterre   Biologie   Espérance mathématique   Exponentielle   Factorielle   Fonction génératrice   L'Arc-en-ciel de la gravité   Ladislaus Bortkiewicz   Loi binomiale   Loi de probabilité   Londres   Météorologie   Probabilité   Raisonnement par récurrence   Siméon Denis Poisson   Statistique   Série entière   Thomas Pynchon   Variable aléatoire   Variance  
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