Principe d'incertitude

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Vues spatiale (position) et fréquentielle (impulsion) de (a) une onde, (b) un paquet d'onde et (c) un corpuscule.L'onde étant de fréquence pure, son impulsion est définie mais elle n'est pas localisée dans l'espace. Inversement, le corpuscule est localisé mais n'a pas de fréquence déterminée. Le cas général est celui du paquet d'onde qui est distribué en fréquence comme en espace. Du fait de la dualité entre les deux représentations l'étalement spatial est inversement proportionn
Principe d'incertitude

Vues spatiale (position) et fréquentielle (impulsion) de (a) une onde, (b) un paquet d'onde et (c) un corpuscule.L'onde étant de fréquence pure, son impulsion est définie mais elle n'est pas localisée dans l'espace. Inversement, le corpuscule est localisé mais n'a pas de fréquence déterminée. Le cas général est celui du paquet d'onde qui est distribué en fréquence comme en espace. Du fait de la dualité entre les deux représentations l'étalement spatial est inversement proportionnel à l'étalement fréquentiel. Le principe d'incertitude fut énoncé au printemps 1927 par Heisenberg lors des balbutiements de la mécanique quantique. Le terme "incertitude" est le terme historique pour ce principe. Le nom de principe d'indétermination est parfois préfèré car le principe ne porte pas sur l'ignorance par l'expérimentateur de grandeurs, mais bien sur l'impossibilité de les déterminer, et même d'affirmer qu'une détermination plus précise existe. Les travaux de Planck, Einstein et De Broglie avaient mis à jour que la nature quantique de la matière entraînait l'équivalence entre des propriétés ondulatoires (fréquence et vecteur d'onde) et corpusculaires (énergie et impulsion) selon les lois : E=\hbar \omega et \vec=\hbar \vec. La dualité onde-corpuscule confirmée alors par de nombreuses expérimentations posait un problème de fond aux physiciens. En effet, pour posséder une fréquence et un vecteur d'onde, un objet doit avoir une certaine extension en espace et en temps. Un objet quantique ne peut donc être ni parfaitement localisé, ni avoir une énergie parfaitement définie. De manière simplifiée, ce principe d'indétermination énonce donc que — de façon assez contre-intuitive du point de vue de la mécanique classique — pour une particule massive donnée, on ne peut pas connaître simultanément sa position et sa vitesse. Soit on peut connaître précisément sa position (par ex: à ± 1 mm) contre une grande incertitude sur la valeur de sa vitesse (par ex: à ± 100 m/s), soit on peut connaître précisément sa vitesse (par ex: à ± 0, 0001 m/s) contre une grande incertitude sur la valeur de sa position (par ex: à ± 1 km). Cependant, si on renonce à considérer la particule en tant qu'objet corpusculaire, l'énoncé de ce principe devient plus intuitif. L'objet quantique ayant une certaine extension dans l'espace et une certaine durée de vie en temps, on le représente alors, non plus par un ensemble de valeurs scalaires (position, vitesse), mais par une fonction décrivant sa distribution spatiale. Toute l'information relative à la particule est contenue dans cette fonction d'onde. Les mesures scalaires effectuées sur cette particule consistent à extraire seulement une partie de cette information, par l'intermédiaire d'opérateurs mathématiques.

Historique du terme

Le principe d'incertitude est souvent appelé principe d'indétermination. L'emploi de ces deux termes pour désigner la même notion résulte d'un problème lors de la traduction en anglais de l'article de Heisenberg. En effet, lors de la première rédaction de son article, Heisenberg emploie les termes Unsicherheit (incertitude) et Ungenauigkeit (imprécision), puis, comprenant que ces termes peuvent prêter à confusion, il décide d'utiliser finalement le terme Unbestimmtheit (indétermination). Mais l'article est déja traduit et c'est le terme "principe d'incertitude" qui sera consacré.Jean-Marc Lévy- Leblond et Françoise Balibar, When did the indeterminacy principle become the uncertainty principle ?, Physics 66, 1998, p. 278- 279, cité par Etienne Klein dans page 6 Bien que la dénomination « principe d'incertitude » soit la plus usitée, on devrait en toute rigueur parler de « principe d'indétermination ». Cependant l'expression s'est répandue à tel point qu'elle est aujourd'hui acceptée par tous les physiciens. Le terme de « principe » est aussi inapproprié, quoique souvent encore usité. Il conviendrait de parler de relations d'incertitude ou mieux de relations d'indétermination. En raison de ces connotations philosophiques, aujourd'hui les physiciens parlent des relations d'incertitude, ou des inégalités de Heisenberg, car il s'agit d'une inégalité portant sur des grandeurs physiques non-commutatives.

Les relations de Heisenberg

Considérons une particule massive non relativiste se déplaçant sur un axe.

Description classique

La mécanique classique de Newton affirme que la dynamique de la particule est entièrement déterminée si l'on connaît à chaque instant : sa position x et sa quantité de mouvement p =  mv (également appelée : impulsion). Ces deux grandeurs physiques réelles ont des valeurs appartenant à \mathbb, variant de -\infty à +\infty. On dit que le couple (x, p) définit espace des phases de la particule. Toute grandeur physique est représentable par une fonction f (x, p) réelle. Cette théorie est conforme à la logique aristotélicienne, incluant la notion de tiers exclu : « il faut qu'une porte soit ouverte ou bien fermée. » Du point de vue mathématique, on décrit l'état de la particule par un nombre fini de grandeurs scalaires.

Description quantique

En mécanique quantique, la valeur précise des paramètres physiques tels que la position ou la vitesse n'est pas déterminée tant qu'elle n'est pas mesurée. Seule la distribution statistique de ces valeurs est parfaitement déterminée à tout instant. Cela peut mener au point de vue (qui est un abus de langage) selon lequel un objet quantique pourrait être "à plusieurs endroits en même temps". Un point de vue plus juste serait de dire que l'objet quantique n'a pas de localisation tant que la position n'est pas mesurée. Cela dit, le paradoxe n'est qu'apparent. Il vient du fait que les grandeurs scalaires classiques sont insuffisantes pour décrire la réalité quantique. On doit faire appel à des fonctions d'onde qui sont des vecteurs appartenant à un espace de Hilbert de dimension infinie. Les grandeurs classiques ne sont donc en fait que des vues partielles de l'objet, potentiellement corrélées.

Notion d'observable

Très curieusement, une grandeur physique, appelée une observable, n'est plus une fonction f (x, p) réelle, mais est représentée par un opérateur hermitien \hat agissant sur un espace de Hilbert \mathcal. La valeur de cette grandeur physique est l'une des valeurs propres réelles de cet opérateur On note gi la valeur propre associée au vecteur propre | g_i\rangle. Par souci de simplification, on néglige ici la notion de multiplicité des valeurs propres. : \hat \, | g_i \rangle = g_i \, | g_i \rangle Si l'état du système à l'instant de la mesure est un vecteur | \psi \rangle de l'espace \mathcal, alors ce vecteur admet la décomposition : | \psi \rangle = \Sigma_i c_i \, |g_i \rangle où les ci sont des nombres complexes.

Interprétation probabiliste

Le nombre complexe ci permet de calculer la probabilité pi d'obtenir la valeur gi  : p_i = | c_i |^2 = c_i \, c_i^
-. La mesure de la grandeur est donc une variable aléatoire (v.a.) avec une espérance E(g) et un écart type σ(g) Plus généralement, tous les moments peuvent être définis.. La mesure est donc de nature probabiliste, ce qui implique beaucoup de paradoxes apparents en logique aristotélicienne. L'un d'entre eux a été immédiatement remarqué par Heisenberg : comme l'opérateur position \hat et l'opérateur quantité de mouvement \hat ne commutent pas : \left = i \, \hbar \, \hat\Bbb on ne peut pas mesurer simultanément ces deux grandeurs : la notion d'espace des phases disparaît en mécanique quantique. L'objet quantique est en fait complètement décrit par sa fonction d'onde. Les grandeurs scalaires utilisées en physique classique sont insuffisantes et inadéquates. L'évolution déterministe de Newton est remplacée par une équation d'évolution déterministe de Schrödinger, permettant de prédire de façon certaine l'évolution temporelle des fonctions d'onde (dont le module carré est la probabilité, la phase n'étant pas connue a priori).

Inégalité de Heisenberg

Des mesures répétées de la position et de l'impulsion donneront des résultats en général différents à chaque mesure : chaque échantillon de valeurs sera caractérisé par un écart type : σx pour la position, et σp pour l'impulsion. Le théorème de Heisenberg démontre que : \sigma_x \cdot \sigma_p \ge \frac\hbar où \hbar est le quantum d'action. Cette notion est fréquemment vulgarisée par des phrases du type : « Il est impossible de connaître à la fois la position et la quantité de mouvement d’un objet de manière précise ». En effet, si par exemple la position d'une particule est exactement connue, la dispersion en position est identiquement nulle : σx = 0. L'inégalité de Heisenberg implique alors que \sigma_p = \infty : la dispersion en impulsion doit être maximale.

Principe général de Heisenberg

Le théorème de Heisenberg ne s’applique pas seulement au couple de valeurs position et quantité de mouvement. Dans sa forme générale, il s’applique à chaque couple d'opérateurs \hat et \hat ne commutant pas : Coloré|
-FFDDFF| \hat = \hat \hat - \hat \hat \neq 0

Énoncé du principe de Heisenberg

Pour un état | \psi \rangle donné, on a : \langle \psi |\sigma_A \ \cdot \ \sigma_B\psi\rangle \ge \frac\langle \psi | \hat | \psi\rangle où la valeur moyenne du commutateur \langle \psi | \hat | \psi\rangle dépend bien sûr de l'état |\psi \rangle choisi. Ce théorème général, conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, fut mis en évidence en 1930 par Robertson et (indépendamment) par Schrödinger ; l'inégalité est donc aussi connue comme la relation de Robertson-Schrödinger.

Principe ou théorème ?

Les puristes réservent parfois le nom de principe au cas où un minorant non nul de | \langle \psi | \hat | \psi\rangle | existe quel que soit l'état | \psi \rangle . Cela n'est possible que si l'espace de Hilbert est de dimension infinie. En effet, dans le cas d'un espace de dimension finie, on a : \mathrm \, (\hat\hat) = \mathrm \, (\hat\hat) \quad \Longrightarrow \quad \mathrm \, (\hat) = 0 Il n'y a alors que théorème de Heisenberg, et non pas principe ; c'est par exemple le cas d'un spin 1/2.

Autre formulation du principe de Heisenberg

L'inégalité de Heisenberg est souvent écrite : \Delta \cdot \Delta \ge \frac \left| \left\langle \left \right\rangle_\gamma \right| où :
- A et B sont deux observables,
- \hat et \hat les opérateurs correspondants,
- représente le commutateur de \hat et \hat,
- \left\langle\, \right\rangle_\gamma est la moyenne sur l’état notation bra-ket : | \gamma \rangle , et
- Δ X est l’écart type de X :
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