Primitive

Infos
En mathématiques, une primitive (ou, rarement, antidérivée – de l'anglais antiderivative) d'une fonction f d'une variable réelle est une fonction F telle que pour tout x, la dérivée de F(x) est égale à f(x) : :\forall x \in \R, \quad F\, '(x) = f(x) Une condition suffisante pour qu'une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue. Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alo
Primitive

En mathématiques, une primitive (ou, rarement, antidérivée – de l'anglais antiderivative) d'une fonction f d'une variable réelle est une fonction F telle que pour tout x, la dérivée de F(x) est égale à f(x) : :\forall x \in \R, \quad F\, '(x) = f(x) Une condition suffisante pour qu'une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue. Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors pour tout réel k, une primitive de kf sur l'intervalle I est kF. Si F et G sont des primitives respectives de deux fonctions f et g, alors une primitive de f+g est F+G. Si une fonction f admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante : si F_1 et F_2 sont deux primitives de f, alors il existe un réel k_0 tel que F_1 = F_2+k_0. Si F est une primitive de f, alors :F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\;\mathrm dx. Ceci est la seconde partie du théorème fondamental de l'analyse.

Exemples

; Polynômes et fonctions rationnelles
- Une primitive de la fonction f(x) = 2x est F(x) = x^2
- Une primitive de la fonction g(x) = 4x^3 est G(x) = x^4
- Une primitive de la fonction (f+g)(x) = 2x + 4x^3 est (F + G)(x) = x^2 + x^4
- Une primitive de la fonction f(x) = x^n est \tfrac pour n réel différent de −1.
- Une primitive de la fonction inverse f(x) = \tfrac est la fonction logarithme népérien \ln(x).
- Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf si on arrive à la décomposer en éléments simples. ; Fonctions trigonométriques
- Une primitive du cosinus est la fonction sinus.
- Une primitive du sinus est l'opposé de la fonction cosinus. ;Autres
- Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Calcul automatique

Des logiciels comme Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

Primitives courantes

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche la primitive, la deuxième est son domaine de dérivation et la troisième, la primitive correspondante à cette fonction. Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche la primitive et la seconde, la primitive correspondante à la fonction

Fonctions simples

Soient a, b, C des constantes. | class="wikitable" style="background:white; text-align:center" align="center" |+ Tableau des primitives simples ! f(x) ! D_D ! F(x) |----- | | \R | |----- | | \R | \frac+bx+C |----- | x^n (\forall \in \R-\-1\) | \R^
- si n \ge 0; \R^
-_+ sinon | \frac +C |----- | \sqrt | \R^
-_+ | \frac 2 3 x\sqrt +C |----- | \frac | \R^
-_+ | \ln +C |----- | \frac 2\sqrt | \R^
-_+ | \sqrt+C |----- | - \frac | \R^
- | \frac +C |----- | \sin | \R | -\cos +C |----- | \cos | \R | \sin +C |----- | \frac \cos^2 | \R- \left\\frac\pi+k\pi\right\ | \tan +C |----- | -\frac \sin^2 | \R- \left\k\pi\right\ | \operatorname +C |----- | e^x | \R | e^x+C |----- | \ln | \R^
-_+ | x\ln - x + C |

Fonctions composées

Soient u et v deux fonctions. | class="wikitable" style="background:white; text-align:center" align="center" |+ Tableau des primitives composées ! f(x) ! F(x) |----- | \lambda u^\prime | \lambda u + C |----- | u^\prime + v^\prime | u+v+C |----- | -\fracu^\prime | \frac +C |----- | (u^n)\times(u^\prime) | \frac +C |----- | \frac u^\prime2\sqrt | \sqrt +c |----- | \sin u \times u^\prime | -\cos u+C |----- | \cos(\omega x+\varphi) | \frac\omega\sin(\omega x+\varphi) |----- | \sin(\omega x+\varphi) | -\frac\omega\cos(\omega x+\varphi) |----- | \left\\begin (v\circ u)^\prime \\ v^\prime(u) \times (u^\prime)\end\right. | (v\circ u)+C |----- | \fracu^\prime | \ln |u|+C |----- | e^u \times u^\prime | e^+C |----- | \begin \tan x \\ \frac\sin \cos \end | -\ln |\cos |+C |

Voir aussi

- Intégrale
- Intégrale impropre
- Table d'intégrales
- Calcul numérique d'une intégrale
- Table de primitives catégorie:analyse réelle Catégorie:primitive ar:اشتقاق عكسي de:Stammfunktion en:Antiderivative eo:Malderivaĵo es:Integral y función primitiva fi:Integraalifunktio is:Stofnfall it:Primitiva (matematica) ja:不定積分 lt:Pirmykštė funkcija nl:Primitieve (functie) no:Primitiv funksjon pl:Funkcja pierwotna pt:Primitiva ro:Primitivă ru:Первообразная sv:Primitiv funktion th:ปฏิยานุพันธ์ tr:İlkel fonksiyon uk:Первісна vi:Nguyên hàm zh:不定积分
Sujets connexes
Années 1970   Calcul numérique d'une intégrale   Continuité   Dérivée   Exponentielle   Fonction polynôme   Fonction rationnelle   Fonction trigonométrique   Fraction partielle   Infini   Intégrale impropre   Maple   Mathematica   Mathématiques   Nombre réel   Table d'intégrales   Table de primitives   Théorème fondamental de l'analyse  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^