Groupe (mathématiques)

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre générale, la notion de groupe est une abstraction des opérations naturelles, telles que l'addition, la multiplication ou la composition, lorsqu'elles sont inversibles. Cette notion permet de modéliser des situations qui se retrouvent dans beaucoup de disciplines, non seulement en mathématiques, mais aussi en chimie et en physique.

Définitions

La structure algébrique d'un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles. En d'autres termes, un groupe noté (\mathcal, \star, e) est un ensemble \mathcal muni d'une loi de composition interne \star et d'un élément neutre e (nécessairement unique) qui satisfont aux axiomes suivants : :
- identité : \forall x \in \mathcal, x \star e = e\star x = x ; :
- inverse : \forall x \in \mathcal, \exists y \in \mathcal, x \star y = y \star x = e, y est dit inverse de x et on le note aussi x^ ; :
- associativité : \forall x, y, z \in \mathcal, x \star (y \star z) = (x \star y)\star z . Lorsque \mathcal est un ensemble fini, on dit que (\mathcal, \star, e) est un groupe fini ; sinon on dit que (\mathcal, \star, e) est un groupe infini. Pour un groupe fini, ordre de ce groupe est le nombre de ses éléments. En terme de variété équationnelle, un groupe est une donnée (\mathcal, \star, e, f) (où \mathcal est un ensemble non vide, \star une loi de composition interne de \mathcal, e un élément de \mathcal et f une application de \mathcal dans \mathcal) soumise aux axiomes suivants : :
- \forall x \in \mathcal, x \star e = e\star x = x ; :
- \forall x \in \mathcal, x \star f(x) = f(x) \star x = e ; :
- \forall x, y, z \in \mathcal, x \star (y \star z) = (x \star y) \star z .

Autre définition

On peut définir un groupe comme toute partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même. Cette définition présente les avantages suivants :
- elle nécessite peu de formalisme,
- elle ne s'encombre pas de théorèmes (le neutre et l'inverse deviennent nécessairement uniques),
- elle fournit une vision plus géométrique d'un groupe
- elle tient en très peu de place.

Commutativité

Si, en plus, l'opération \star est commutative, c'est-à-dire si tous les éléments du groupe commutent entre eux (\forall x, y \in \mathcal, x \star y=y \star x), le groupe est dit abélien. Si un tel groupe est fini ou engendré par une famille de groupes finis, la théorie (entièrement achevée) des groupes abéliens de type fini s'applique.

Conventions

L'ensemble et le groupe lui-même sont le plus souvent confondus, et tous les deux notés par le même symbole, en négligeant de préciser de quelle loi de groupe on parle (le contexte est souvent assez explicite). Pour un groupe en général, la loi est souvent notée comme une multiplication ; c'est-à-dire en écrivant \ x y ou x \cdot y pour x \star y , ce qui est plus léger. Dans ce cas, on note aussi \ 1 l'élément neutre. Cette convention est appelée la notation multiplicative. Cependant, quand le groupe est abélien, on préfère noter la loi \ + et l'élément neutre \ 0. Noter un groupe non commutatif avec une loi \ + va à l'encontre des conventions habituelles. Cette convention est appelée la notation additive.

Exemples

- L'ensemble \mathbb Z des entiers relatifs est un groupe pour l'addition.
- Les permutations d'un ensemble forment un groupe pour la composition.
- Lorsqu'on a un groupe, on peut en construire un autre en considérant ses automorphismes, qui forment un groupe pour la composition.
- Plus généralement, les automorphismes d'une structure algébrique forment un groupe pour la composition.
- L'ensemble des matrices carrées (de taille donnée) muni de l'addition ;
- L'ensemble des matrices carrées inversibles (de taille donnée) muni de la multiplication ;
- L'ensemble des matrices carrées orthogonales muni de la multiplication ;
- L'ensemble des isométries du plan (ou d'un quelconque espace affine euclidien) muni de la loi de composition. ;Contre-exemples
- L'ensemble \mathbb N muni de l'addition (les inverses des éléments de \mathbb N ne sont pas dans \mathbb N).
- L'ensemble des matrices carrées muni de la multiplication (toutes les matrices ne sont pas inversibles).
- L'ensemble des homothéties du plan muni de la composition (les homothéties de rapport zéro ne sont pas inversibles).
- L'ensemble des parties d'un ensemble non vide muni de l'union ensembliste (l'union n'a pas d'inverse, sauf pour l'ensemble vide). Ces quatre derniers exemples sont des monoïdes par lacune de l'inversibilité.

Sous-groupe

Un sous-groupe d'un groupe G est un sous-ensemble H de G qui est un groupe pour l'opération qu'il hérite de G. On note parfois H\leq G. On montre aisément qu'un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe si, et seulement si, il est non-vide et stable par l'opération et l'inverse : \forall x, y \in \mathcal, x\star y^ \in \mathcal .

Exponentiation par un entier, ordre d'un élément

Définition de l'exponentiation

On peut définir une loi externe des entiers relatifs sur tout groupe, de la façon suivante : étant donnés n un entier relatif, et x un élément d'un groupe (G, \star , 1), on pose :
- x^n = x\star x\star \ldots \star x (où x apparaît n fois à droite) si n>0\, ,
- x^n = (x^)^\, si n