Triangle

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Un triangle. En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de trois angles dans cette figure, ceux formés par les segments entre eux. Les trois points sont les sommets du triangle, les trois segments ses côtés, et les trois angles ses angles. Le triangle e
Triangle

Un triangle. En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de trois angles dans cette figure, ceux formés par les segments entre eux. Les trois points sont les sommets du triangle, les trois segments ses côtés, et les trois angles ses angles. Le triangle est une figure géométrique élémentaire, à l'instar du point, de la droite ou du cercle. Il constitue depuis l'Antiquité une réserve inépuisable de propriétés, d'exercices et de théorèmes mathématiques de difficulté variées. La plupart des propriétés et définitions énoncées dans cet article étaient déjà énoncées d'Euclide, environ 300 ans avant Jésus-Christ, comme en atteste son ouvrage, « Éléments de géométrie ». Pour l'étude du triangle dans d'autres géométries, voir Triangle (géométries non euclidiennes).

Convention d'écriture

Un triangle nommé ABC Comme tout polygone, on nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC. Ici, l'ordre n'a pas d'importance, puisque deux sommets quelconques sont les extrémités d'un côté du triangle. En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise le nom du sommet de l'angle opposé, en minuscule : a = BC, b = AC, c = AB. On nomme un angle en utilisant une lettre minuscule (grecque ou non) : \widehat\alpha = \widehat = \widehat = \widehat, \widehat\beta = \widehat = \widehat = \widehat, \widehat\gamma = \widehat = \widehat = \widehat. Si on tolère, pour alléger les notations, de confondre un angle et sa mesure dans les énoncés ou les calculs, la notation correcte est par exemple mes(\widehat)=40° Nous utiliserons ces notations dans cet article.

Propriétés élémentaires

Un quadrilatère, avec ses diagonales Un tétraèdre Un triangle peut aussi être défini comme un polygone à trois côtés, ou encore comme un polygone à trois sommets. Après le point et le segment, le triangle est la figure polygonale la plus simple. C'est le seul qui ne possède pas de diagonale. Dans l'espace, trois points définissent un triangle (et un plan). A contrario, si quatre points coplanaires forment un quadrilatère, quatre points non coplanaires ne définissent pas un polygone, mais un tétraèdre : D'autre part, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles qui forment alors une triangulation de ce polygone. Le nombre minimal de triangles nécessaire à ce découpage est n-2, où n est le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est fondamentale pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration du théorème de Pick.

Longueurs des côtés et inégalité triangulaire

Dans un triangle, La longueur d'un côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit dans un triangle ABC, si on note les trois inégalités suivantes sont vérifiées : BC
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