Calcul des variations

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En analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles. L'application des théories de Galois, d'Abel et de la transformée de Laplace permit d'en faire toute une branche fructueuse des mathématiques. Elle trouve de nombreuses applications en physique mathématique, comme les principes variationnels ou la recherche de surfaces minimales,
Calcul des variations

En analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles. L'application des théories de Galois, d'Abel et de la transformée de Laplace permit d'en faire toute une branche fructueuse des mathématiques. Elle trouve de nombreuses applications en physique mathématique, comme les principes variationnels ou la recherche de surfaces minimales, de courbes brachistochrones et de géodésiques.

Variations première et seconde

Équation de Jacobi

Points conjugués et condition de Legendre

Condition de Weierstrass

Karl Weierstrass (1815-1897) Condition de Weierstrass Revenons-en à l'expression de l'intégrale W = \int_^ f(x, y, y')\;\mathrm dx et considérons un champ F d'extrémales se composant d'une famille de ces courbes à un paramètre \alpha. Chacune d'elles satisfait naturellement à l'équation d'Euler-Lagrange : \frac\mathrm d\mathrm dx\frac\partial f\partial y' - \frac\partial f\partial y = 0. En adoptant la représentation paramétrique : x_0, x_1 et \alpha, fonctions de t, x_0 et x_1 décrivent des courbes C et D lorsque t varie, et la variation de W d'une extrémale à l'autre estEn tenant compte de la formule \textstyle\delta W = _ - _ + \int_^ L\;\mathrm dt - \int_^ L\;\mathrm dt établie plus haut. \delta W = \left_0 \to 1, où y' est le coefficient angulaire de la tangente à l'extrémale et Y' celui de la tangente à la courbe C ou D.

Notes

Voir aussi

Bibliographie


- H. Goldstein (1980). Classical Mechanics (Second Edition), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. ISBN 0-201--02969-3. ===
Sujets connexes
Analyse fonctionnelle   Courbe brachistochrone   Fonctionnelle   Géodésique   Karl Weierstrass   Lemme fondamental du calcul des variations   Physique mathématique   Point critique (mathématiques)   Principe variationnel   Principe variationnel en physique quantique   Surface minimale   Transformée de Laplace  
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