Corps algébriquement clos

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En mathématiques, un corps K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Dans ce cas, chacun de ces polynômes se divise en facteurs linéaires. Il peut être démontré qu'un corps est algébriquement clos si et seulement s'il n'a pas d'extension algébrique propre, et ceci est parfois pris comme définition. Par exemple, le corps des nombres réels n'est pa
Corps algébriquement clos

En mathématiques, un corps K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Dans ce cas, chacun de ces polynômes se divise en facteurs linéaires. Il peut être démontré qu'un corps est algébriquement clos si et seulement s'il n'a pas d'extension algébrique propre, et ceci est parfois pris comme définition. Par exemple, le corps des nombres réels n'est pas algébriquement clos, parce que le polynôme X^2 + 1 n'a pas de racine réelle. Au contraire, le corps des nombres complexes est algébriquement clos : c'est le théorème fondamental de l'algèbre. Tout corps a une clôture algébrique, qui est le plus petit corps algébriquement clos dont K est un sous-corps. La clôture algébrique d'un corps donné est unique à K-isomorphisme (isomorphisme laissant invariant les éléments de K) près. En particulier, le corps des nombres complexes est la clôture algébrique du corps des nombres réels et le corps des nombres algébriques est la clôture algébrique du corps des nombres rationnels. Un corps fini K ne peut être algébriquement clos. En effet, si K =\x_1, \dots, x_n\, le polynôme P = 1 + \prod_^n (X - x_i) n'admet aucune racine dans K (il prend la valeur 1 en chaque élément de K). Catégorie:Théorie des corps Catégorie:Théorie de Galois bg:Алгебрически затворено поле de:Algebraisch abgeschlossen en:Algebraically closed field es:Cuerpo algebraicamente cerrado fi:Algebrallisesti suljettu kunta he:שדה סגור אלגברית it:Campo algebricamente chiuso ko:대수적으로 닫힌 체 pl:Ciało algebraicznie domknięte pt:Corpo algebricamente fechado ru:Алгебраически замкнутое поле vi:Trường đóng đại số zh:代數封閉域
Sujets connexes
Clôture algébrique   Corps (mathématiques)   Décomposition en produit de facteurs premiers   Ensemble fini   Extension algébrique   Isomorphisme   Mathématiques   Nombre algébrique   Nombre complexe   Nombre rationnel   Nombre réel   Polynôme  
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