Corps ordonné

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En algèbre générale, un corps ordonné est la donnée d'un corps (\mathbb, +, \times), muni d'une relation d'ordre (notée \leq dans l'article) compatible avec la structure de corps. Dans tout l'article, on note naturellement \geq la relation d'ordre réciproque de \leq, et l'on note les relations d'ordre strict respectivement associées à \leq et \geq. On note par ailleurs 0 l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication. Enfin, on note x^ l'inverse
Corps ordonné

En algèbre générale, un corps ordonné est la donnée d'un corps (\mathbb, +, \times), muni d'une relation d'ordre (notée \leq dans l'article) compatible avec la structure de corps. Dans tout l'article, on note naturellement \geq la relation d'ordre réciproque de \leq, et l'on note les relations d'ordre strict respectivement associées à \leq et \geq. On note par ailleurs 0 l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication. Enfin, on note x^ l'inverse d'un élément x non nul de \mathbb. La majeure partie des résultats énoncés (ceux ne faisant pas intervenir la notion d'inverse) peut s'étendre aux anneaux.

Définitions

Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d'ordre \leq est compatible avec la structure de corps de \mathbb si les deux conditions suivantes sont réunies.
- Le groupe additif (\mathbb, +) est un groupe ordonné par la relation d'ordre \leq (c'est-à-dire que celle-ci est compatible avec l'addition).
- On a, pour tous éléments x et y du corps tels que x\geq 0 et y\geq 0, l'inégalité x\times y\geq 0 (la relation d'ordre est compatible avec la multiplication). Par commodité, on dira par la suite qu'un élément x de \mathbb est positif si l'on a x\geq 0, et qu'il est négatif si l'on a x\leq 0 (on remarquera, par antisymétrie de la relation d'ordre \leq, que 0 est l'unique élément du corps à la fois positif et négatif).

Exemples

Les corps \mathbb des rationnels et \mathbb des réels, munis de la relation d'ordre habituelle, sont des corps ordonnés.

Propriétés

On dispose d'abord des propriétés liées à la compatibilité de l'addition avec la relation d'ordre (voir l'article groupe ordonné pour leur démonstration, avec d'autres notations).
- Addition membre à membre d'inégalités. Pour tous éléments x, y, x' et y' de \mathbb tels que x\leq y et x'\leq y', on a x+x'\leq y+y'.
- Passage à l'opposé dans une inégalité en en changeant le sens. Pour tous éléments x et y tels que x\leq y, on a -y\leq -x. On dispose par ailleurs de propriétés liées à la compatibilité de la multiplication avec la relation d'ordre.
- Règle des signes.
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- Pour tous éléments x et y de \mathbb tels que x\leq 0 et y\leq 0, on a l'inégalité x\times y\geq 0.
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- Pour tous éléments x et y de \mathbb tels que x\leq 0 et y\geq 0, on a l'inégalité x\times y\leq 0.
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- Pour tous éléments x et y de \mathbb tels que x\geq 0 et y\leq 0, on a l'inégalité x\times y\leq 0. Cela se déduit aisément du deuxième axiome de la définition de la compatibilité, en utilisant le fait qu'un élément négatif est l'opposé d'un élément positif, et que l'opposé d'un élément est obtenu en le multipliant (à gauche ou à droite) par l'opposé de l'unité 1.
- Si 0 et 1 sont comparables, on a nécessairement 0\leq 1. En effet, on a 1=1\times 1, et si 0 et 1 sont comparables, on a soit 0\leq 1, soit 1\leq 0, mais la règle des signes permet d'éliminer la seconde possibilité.
- Multiplication membre à membre d'inégalités entre éléments positifs. Pour tous éléments x\geq 0, y, x'\geq 0 et y' de \mathbb tels que x\leq y et x'\leq y', on a x\times x'\leq y\times y'. Démonstration. Les hypothèses se traduisent par les inégalités y-x\geq 0 et y'-x'\geq 0 et il s'agit de prouver l'inégalité y\times y'-x\times x'\geq 0. Il suffit pour y parvenir d'utiliser la décomposition y\times y'-x\times x'=x\times (y'-x')+(y-x)\times y', le membre de droite de cette inégalité étant positif en tant que somme de deux produits d'éléments positifs (la positivité de y' découlant de celle de x' et de la transitivité de la relation d'ordre \leq). \square On remarquera que l'hypothèse peut être affaiblie en permettant à l'un des éléments x, x', y et y' d'être strictement négatif, mais pas plus. Par exemple, dans le corps des rationnels, on a -1\leq 1 et -3\leq 2, mais on a (-1)\times (-3)>1\times 2.
- Passage à l'inverse dans une inégalité entre éléments strictement positifs, en en changeant le sens. Pour tous éléments x>0 et y de \mathbb tels que x^>0, y^>0 et x\leq y, on a y^\leq x^. Pour le prouver, il suffit d'appliquer la règle de multiplication membre à membre aux trois inégalités x^\leq x^, x\leq y et y^\leq y^ (dans cet ordre). On remarquera que si la relation d'ordre est totale, les hypothèses x^>0 et y^>0 sont superflues.

Corps totalement ordonné

On appelle corps totalement ordonné un corps ordonné pour lequel la relation d'ordre est totale. Par exemple, les corps \mathbb des rationnels et \mathbb des réels, munis de la relation d'ordre habituelle, sont des corps totalement ordonnés. En revanche, le corps \mathbb des nombres complexes ne peut pas être muni d'une structure de corps totalement ordonné. Démonstration. On raisonne par l'absurde en supposant que \mathbb est muni d'une relation d'ordre compatible avec sa strucure de corps, et le rendant totalement ordonné. On note \leq cette relation (on prendra cependant garde à ce qu'elle n'a a priori aucune raison de coïncider avec la relation d'ordre usuelle par restriction aux nombres réels). On note \mathrm l'un des deux nombres complexes de carré égal à -1. Comme l'ordre est total, d'après la règle des signes et l'égalité \mathrm^2=-1, on obtiendrait l'inégalité -1\geq 0. Cela entraînerait, par passage à l'opposé, l'inégalité 0\geq 1. Mais comme 0 et 1 sont comparables, on a nécessairement 0\leq 1, et l'on obtiendrait l'égalité 0=1, ce qui est une contradiction. Par conséquent, la relation d'ordre ne peut pas être à la fois totale et compatible avec la structure de corps de \mathbb. \square Remarque. Il est en revanche aisé de définir sur \mathbb une relation d'ordre qui est soit totale, soit compatible avec sa structure de corps.
- Exemple 1. La relation d'ordre lexicographique \leq_\mathrm, définie par z\leq_\mathrm z' si, en notant z=x+\mathrmy et z'=x'+\mathrmy', avec x, y, x' et y' réels, on a soit x
Sujets connexes
Algèbre générale   Anneau (mathématiques)   Archimédien   Corps (mathématiques)   Groupe   Groupe ordonné   Nombre complexe   Nombre rationnel   Nombre réel   Ordre lexicographique   Ordre total   Raisonnement par l'absurde   Relation d'ordre   Transitivité  
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