Longueur d'un arc

Infos
Intuitivement, la longueur d’une courbe ou d'un arc (portion) de courbe est la longueur de ficelle qu'il faudrait dérouler pour la parcourir complètement. Cette longueur peut être obtenue si on connaît le temps de parcours et la vitesse. Pour donner une définition générale de la longueur d'un arc, il faut commencer par formaliser la notion de distance, en général dans le cadre d'un espace euclidien. On sait alors mesurer la longueur de courbes simples : les lignes pol
Longueur d'un arc

Intuitivement, la longueur d’une courbe ou d'un arc (portion) de courbe est la longueur de ficelle qu'il faudrait dérouler pour la parcourir complètement. Cette longueur peut être obtenue si on connaît le temps de parcours et la vitesse. Pour donner une définition générale de la longueur d'un arc, il faut commencer par formaliser la notion de distance, en général dans le cadre d'un espace euclidien. On sait alors mesurer la longueur de courbes simples : les lignes polygonales. Les Anciens sans disposer d'un procédé de calcul explicite, se contentaient d'approcher les longueurs de courbe, en considérant des lignes polygonales joignant des points de la courbe. C'est la méthode d'exhaustion, qui avait été initiée par Eudoxe de Cnide et Archimède pour les calculs d'aires. Ces calculs approchés de longueur peuvent servir de fondement à une définition générale permettant de dépasser la vision intuitive de la longueur. La longueur de l'arc sera la borne supérieure, si elle existe, des longueurs de telles lignes polygonales. Lorsque la courbe est paramétrée de façon suffisamment régulière, on obtient une formule explicite pour la longueur, issue du calcul différentiel. On peut alors utiliser la notion d'abscisse curviligne qui est une sorte de longueur algébrique, tenant compte de l'orientation, et qui permet de reparamétrer la courbe de façon à s'affranchir des considérations sur la vitesse de parcours.

Présentation moderne : courbe rectifiable et longueur

Approche par la notion de vitesse

Voici une première façon d'introduire la longueur, à partir de la notion un peu floue de «longueur d'un vecteur déplacement infinitésimal». Comme historiquement le calcul infinitésimal a précédé la définition précise des notions de limite et de borne supérieure, cette première définition de la longueur relève d'une tradition différente de la suivante et peut sembler plus parlante. On se place pour ce calcul dans le plan euclidien, rapporté à un repère orthonormal. On envisage un arc paramétré de classe \mathcal C^1 donné par une fonction \overrightarrow(t)=(x(t), y(t)) pour t variant dans un segment . On va obtenir une formule pour la longueur en manipulant librement les notations différentielles, ce qui pourrait être rendu parfaitement rigoureux. On peut parler du vecteur déplacement infinitésimal :\overrightarrow = \overrightarrow(t+dt)-\overrightarrow(t)=\overrightarrow\fracdt~ Notons sa norme ds : c'est la longueur infinitésimale parcourue pendant l'intervalle de temps dt. Alors la longueur de l'arc est obtenue en sommant ces longueurs élémentaires :L=\int ds = \int_a^b \frac dt = \int_a^b \left\|\fracd\overrightarrow\right\| dt = \int_a^b \sqrt dt~ On pourra résumer cette formule en exprimant la valeur de la longueur infinitésimale sous la forme :ds^2=dx^2+dy^2 D'autres formules peuvent s'établir de la même façon (pour des courbes de l'espace euclidien à 2, 3 dimensions), avec, suivant le système de coordonnées choisi
- ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 coordonnées cartésiennes dans l'espace
- ds^2=dr^2+r^2d\theta^2 coordonnées polaires dans le plan
- ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+dz^2 coordonnées cylindriques dans l'espace
- ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 coordonnées sphériques dans l'espace
- ds^2=dx_1^2+...+dx_n^2 coordonnées cartésiennes dans l'espace euclidien à n dimensions Pour donner à ces formules un sens rigoureux, il faudrait introduire les notions générales de forme quadratique et de tenseur métrique. Pour obtenir les formules usuelles, il suffit cependant de manipuler l'interprétation en termes d'éléments de longueur infinitésimaux. Le s qui pointe son nez dans ces formules est cependant une quantité intéressante pour elle-même : l'abscisse curviligne, version algébrisée de la longueur.

Notions générales de courbe rectifiable et de longueur d'arc

Le paragraphe précédent masquant un certain nombre de difficultés et n'étant valable que pour des arcs dérivables (pour lesquels on peut parler de vecteur vitesse), on procède à une définition plus générale et plus géométrique. Définitions Une courbe est rectifiable si les lignes polygonales inscrites sur celle-ci sont de longueur uniformément bornée. Si t \mapsto f(t) décrit la courbe (t dans ), alors une ligne polygonale P inscrite est donnée par ses sommets M_i=f(t_i), pour n'importe quel choix t_0=a
Sujets connexes
Abscisse curviligne   Application lipschitzienne   Archimède   Calcul des variations   Calcul infinitésimal   Caténoïde   Cercle   Chaînette   Christopher Wren   Convergence uniforme   Courbe   Courbe algébrique   Courbe fermée   Cycloïde   Différentielle   Dimension   Distance (mathématiques)   Droite (mathématiques)   Dérivée   Ellipse (mathématiques)   Espace de Sobolev   Espace euclidien   Eudoxe de Cnide   Forme quadratique   Graphe d'une fonction   Géodésique   Géométrie euclidienne   Géométrie riemannienne   Histoire des mathématiques   Hypocycloïde   Intervalle (mathématiques)   Intégrale elliptique   John Wallis   Ligne polygonale   Limite   Méthode d'exhaustion   Norme   Norme (mathématiques)   Parabole   Paramétrage   Pierre de Fermat   Plan   Polygone   Projection orthogonale   Périmètre   Relativité générale   Somme de Riemann   Spirale logarithmique   Spline   Système de coordonnées   Tenseur métrique   Théorème des accroissements finis   Théorème isopérimétrique   Torricelli   Triangle   Variété riemannienne  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^