Harmonique sphérique

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En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières. À titre de rappel, une fonction est dite harmonique lorsque son laplacien est nul. Les polynômes harmoniques P(x, y, z), de degré l sont au nombre de 2l+1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques ( r, \theta, \varphi ) à l'aide de (2l+1) combinaisons : r^l \cdot Y_(\theta, \varphi), avec - l \le m \le + l Les coordonnées sphériques ( r, \theta, \varphi ) sont, respect
Harmonique sphérique

En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières. À titre de rappel, une fonction est dite harmonique lorsque son laplacien est nul. Les polynômes harmoniques P(x, y, z), de degré l sont au nombre de 2l+1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques ( r, \theta, \varphi ) à l'aide de (2l+1) combinaisons : r^l \cdot Y_(\theta, \varphi), avec - l \le m \le + l Les coordonnées sphériques ( r, \theta, \varphi ) sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude. Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité S^2. Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation (groupe de symétrie orthogonal SO3) et que le laplacien entre en jeu :
-en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs)
-en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique), gravimétrie ...
-en géophysique (représentation du globe terrestre, en météorologie)
-en cristallographie pour la texture,
-en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique, description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène)
-etc.

Base orthonormale des harmoniques sphériques

Parmi les (2l+1) fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthomormale sur la sphère S^2 munie de la mesure \mathrm d\mu = \frac4\pi \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi, soit le produit scalaire (hermitien en fait) : \langle f_1\mid f_2\rangle = \frac4\pi \iint_ f_1^ f_2 \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres On a introduit un signe moins pour avoir des valeurs propres positives. En effet, l'opérateur lapalacien est un opérateur négatif au sens où, pour toute fonction \phi~ lisse à support compact, on a : \int \phi \Delta \phi = - \int \| \mathrm \phi \|^2 Cette égalité se démontre en utilisant la relation et en intégrant par parties. : - \Delta Y_(\theta, \varphi) = l(l+1) Y_(\theta, \varphi) où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, J^2 : \Delta f(\theta, \varphi) \stackrel\rm def J^2 f = \frac\sin \theta \frac\partial ~\partial \theta \left(\sin \theta \frac\partial f\partial \theta\right) + \frac\sin^2 \theta \frac\partial^2 f\partial \varphi^2 Elles sont fonctions propres de l'opérateur J_3 = -i \tfrac\partial\partial \phi : J_3 Y_ = m \cdot Y_ Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement Y_(\theta, \varphi), où les angles (\theta, \varphi) sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et l et m sont deux nombres entiers tels que :
- 0 \le l
- - l \le m \le + l

Expression des harmoniques sphériques

On obtient alors l'expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante : Y_ = P_l (\cos \theta)\cdot \sqrt\frac4\pi, où Pl(x) est le polynôme de Legendre de degré l. On obtient ensuite : J_+ Y_ = \sqrt\cdot Y_ où J_+ = e^i\phi\left( \frac\partial\partial \theta + \frac\tan \theta \cdot \frac\partial\partial \phi\right) est l'opérateur « d'échelle montante ». Pour m négatif, Y_ = (-1)^m.Y_ Note : on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus. Souvent cette base se note |lm\rangle : toute fonction sur la sphère S^2 pourra donc s'écrire : f(\theta, \phi) = f^\cdot |lm\rangle (en convention de sommation d'Einstein), les coefficients complexes f(l, m) jouant le rôle de composantes de f dans la base des |lm\rangle (on dit parfois coefficients de fourier généralisés). En chimie ou en géophysique, il arrive qu on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de fourier réels.

Recherche des harmoniques sphériques

On cherche les fonctions Y_(\theta, \varphi) sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable : Y_(\theta, \varphi) = k P_(\cos \theta) \mathrm^+ \, i \, m \, \varphi où k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle linéaire d'ordre deux pour la fonction P_(\cos \theta) : - \frac\sin \theta \frac\mathrm d ~\mathrm d \theta \left(\sin \theta \frac\mathrm d P_(\cos \theta)\mathrm d \theta\right) + \frac\sin^2 \theta P_(\cos \theta) = E_ P_(\cos \theta) On fait le changement de variable : \theta \mapsto x = \cos \theta qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre : - \frac\mathrm d ~\mathrm dx \left + \frac P_(x) = E_ P_(x) Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de m : E_ = l (l+1)~ Les fonctions propres P_(x) se construisent à partir des polynômes de Legendre P_(x) qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas m = 0 : - \frac\mathrm d ~\mathrm dx \left = l (l+1) P_(x) On a la formule génératrice d'Olinde Rodrigues : P_(x) = \frac \frac\mathrm d^l ~\mathrm dx^l \left^l On construit alors les fonctions propres P_(x) par la formule : P_(x) = (-1)^m \left^ \frac\mathrm d^m P_(x)\mathrm dx^m soit explicitement : P_(x) = \frac \left^ \frac\mathrm d^ ~\mathrm dx^ \left^l Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions P_(x) pour m \ge 0, car il existe une relation simple entre P_(x) et P_(x) : P_l, - \, m(x) = (-1)^m \frac(l-m) \, ! (l +m) \, ! P_(x)

Normalisation

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité S_2 au sens où : Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant : \iint_ \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline_(\theta, \varphi) Y_(\theta, \varphi) = \delta_ \delta_ Dans cette formule, \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) représente l'angle solide élémentaire : \mathrm d\Omega(\theta, \varphi)= \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\varphi Toute fonction f(\theta, \varphi) suffisamment régulière admet un développement en série : f(\theta, \varphi) = \sum_^+ \infty \sum_^ a_ Y_(\theta, \varphi) où les coefficients complexes a_ se calculent par : a_ = \iint_ \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline_(\theta, \varphi) f(\theta, \varphi)

Expression des harmoniques sphériques normalisées

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S3. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale : bloc emphase|Y_(\theta, \varphi) = \sqrt\frac4\pi \frac P_(\cos \theta) \mathrm^+ \, i \, m \, \varphi

Propriétés

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue f(\theta, \varphi) se décompose en une série d'harmoniques sphériques : f(\theta, \varphi) = \sum_^+\infty \sum_^ C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi) où l et m sont des indices entiers, est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base. Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques. est la partie réelle d'une fonction complexe Y_l^m(\theta , \varphi) = \operatorname \left ( \underline(\theta , \varphi) \right ) est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par \underline(\theta , \varphi) = \sqrt\frac2 \cdot (l-m)! \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot e^i m \varphi où i est l'imaginaire et est le polynôme de Legendre : P_l^m (X) = \frac2^l \cdot l! \cdot (1-X^2)^ \cdot \frac\partial^\partial X^ \left On a donc Y_l^m(\theta , \varphi) = \sqrt\frac2 \cdot (l-m)! \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi) On a par exemple :
- P_0^0(\cos \theta) = 1 ( est isotrope) ;
- P_1^0(\cos \theta) = \cos \theta ;
- P_1^1(\cos \theta) = - \sin \theta ;
- P_3^1(\cos \theta) = \frac \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cos^2 \theta + 1) ; Les fonctions présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque est une fonction constante et décrit donc une sphère). Si l'on utilise la représentation sphérique \rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_l^m (\theta, \varphi) alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où est positif, les creux aux parties où est négatif. Lorsque \theta et \varphi décrivent l'intervalle [0 ;2\pi[, s'annule selon l cercles :
- m cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant Oz et la sphère) ;
- l-m cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à Oxy et la sphère). Le paramètre l est appelé le « degré », m est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative. 300px Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique : 300px Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques : | class="wikitable" style="background: white; text-align: center" |+ Y_3^2 |- | 150px || 200px |- | \rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3^2 (\theta, \varphi) les parties en blanc sont positives, en bleu négatives | \rho = |Y_3^2(\theta, \varphi)|^2 |

Représentation graphique

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :
- en coordonnées cartésiennes : y = Y_l(\theta) ;
- en coordonnées polaires : r = r_0 + r_1.Y_l(\theta) avec r_1
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